Konstrukcje prętowe statycznie niewyznaczalne

Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 10663 razy

Zanim przejdę do głównego tematu (czyli obliczeń) trzeba trochę opowiedzieć o naprężeniach wewnętrznych występujących w konstrukcjach (nie tylko prętowych) oraz o bardzo ważnym prawie Hooke'a. Trzeba sobie uświadomić, że każde ciało, nawet najtwardsze pod wpływem sił odkształca się, jeżeli nie przegięliśmy z naszą siłą P to ciało nią obciążone odkształci się nieznacznie (skróci - gdy jest ściskane, wydłuży - gdy jest rozciągane), jeżeli po zdjęciu obciążenia w postaci naszej siły P ciało powróci do pierwotnego kształtu, to mowa jest tutaj o odkształceniu sprężystym. Wspomniane już wcześniej prawo Hooke'a jest stosowane jedynie do odkształceń sprężystych, to ograniczenie jednak nie powinno robić na nas żadnego wrażenia, w końcu nie zależy nam na tym, aby nasza konstrukcja odkształcała się plastycznie ponieważ to oznacza, że któregoś dnia nie wytrzyma obciążenia i się zawali (jeśli nie zrobi tego od razu).

Prawo Hooke'a: ciało obciążone siłą odkształca się wprost proporcjonalnie do wartości działającej siły.

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{P}{F}=E\cdot\frac{\Delta l}{l}

gdzie:

P - siła działająca na element konstrukcji;
F - przekrój poprzeczny tego elementu;
E - moduł Younga wyrażony w niutonach na centymetr kwadratowy;
- przyrost długości;
l długość przed obciążeniem.

Z równania [1] można wyprowadzić zależność, wydłużenia pręta pod działaniem siły:

Zależność wydłużenia pręta od działającej się siły

[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\Delta l=\frac{P\cdot l}{E\cdot F}

Dzieląc obustronnie oczywiście równanie [2] przez długość l nieobciążonego pręta uzyskujemy wzór na wydłużenie względne:

[3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\varepsilon =\frac{\Delta l}{l}=\frac{P}{E\cdot F}=\frac{\sigma}{E}\Rightarrow \sigma=\varepsilon \cdot E\left[\frac{N}{cm^2}\right]

Równanie [3] dziwnie rozpisane do granic możliwości (a może i nie) zawiera tajemniczą sigmę. Jest to nic innego jak naprężenie.

Rys. 1
Wykres zależności naprężenia od wydłużenia odkształcanego elementu.

Zadanie 1

Stalowy pręt o długości l i przekrojach A₁=10 [cm²] oraz A₂=20 [cm²] jest utwierdzony dwoma końcami w nieruchomych i nieodkształcalnych ścianach. Pręt ten został obciążony dwoma siłami: P₁=10⁵[N] i P₂=80000[N]. Wyznaczyć i narysować wykres naprężeń występujących w wszystkich przekrojach tego pręta.

Rysunek obciążonego pręta do zadania 1. — Rys. 2
Rysunek obciążonego pręta.

Dane:

A_1=10left[cm^2right]; A_2=20left[cm^2right];P_1=10^5[N];P_2=8cdot 10^4[N]

Rozwiązanie:

Dla rysunku 2 możliwe jest napisanie jednego równania równowagi:

[4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\sum X=0: -R_A+P_1+P_2+P_3+R_D=0

Równanie [4] nie przyda się do wyznaczenia naprężeń, ale przyda się do obliczenia reakcji podpory R_B. W celu wyznaczenia naprężeń należy dla poszczególnych przekrojów sporządzić równania równowagi.

Przekrój 1

Równanie równowagi sumy sił na osi X dla przekroju pierwszego

[5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\sum X=0: -R_A+N_1=0\Rightarrow N_1=R_A

Przekrój 2

równanie równowagi sumy sił na osi X dla przekroju drugiego

[6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\sum X=0: -R_A+P_1+N_2=0\Rightarrow N_2 = R_A-P_1

Przekrój 3

Równanie równowagi dla sumy sił na osi X dla przekroju trzeciego

[7]

Teraz brakuje do szczęścia tylko jednego równania, które połączy wszystkie siły N występujące w poszczególnych przekrojach pręta. To ostatnie równanie będzie sumą wydłużeń poszczególnych przekrojów pręta, która musi być równa zero ponieważ podpory się nie przemieszczają więc długość całego pręta nie może ulec zmianie.

[8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{N_1\cdot \frac{l}{3}}{E\cdot A_1}+\frac{N_2\cdot \frac{l}{3}}{E\cdot A_2}+\frac{N_3\cdot \frac{l}{3}}{E\cdot A_1}=0\Rightarrow \frac{N_1}{A_1}+\frac{N_2}{A_2}+\frac{N_2}{A_1}=0

Do równania [8] za N₁, N₂ oraz N₃ należy podstawić z równania [5], [6] oraz [7] i wyliczyć reakcję R_A w następujący sposób:

[9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{R_A}{A_1}+\frac{R_A-P_1}{A_2}+\frac{R_A-P_1+P_2}{A_1}=0\Rightarrow R_A=\frac{\frac{P_1}{A_2}+\frac{P_1-P_2}{A_1}}{\frac{2}{A_1}+\frac{1}{A_2}}=28000[N]

Teraz można przystąpić do wyznaczenia sił występujących w poszczególnych przekrojach:

[10]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

N_1=28000[N]

[11]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

N_2=28000-100000=-72000[N]

[12]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

N_3=28000-100000+80000=8000[N]

Znając siły występujące w poszczególnych przekrojach pręta, obliczyć można naprężenia w nich występujące:

[13]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\sigma_1=\frac{N_1}{A_1}=2800\left[\frac{N}{cm^2}\right]

[14]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\sigma_2=\frac{N_2}{A_2}=-3600\left[\frac{N}{cm^2}\right]

[15]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\sigma_3=\frac{N_3}{A_1}=800\left[\frac{N}{cm^2}\right]

Jak już obliczone zostały naprężenia, to chociaż nie jest to częścią tego zadania obliczyć można reakcję R_B:

[16]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

R_B=R_A-P_1+P_2=8000[N]

Czy to jest dobrze policzone R_B dobrze, ponieważ reakcja ta musi równoważyć siłę N₃, która dla przekrojów wykonywanych od prawej strony belki musiała by być skierowana w przeciwną stronę aby odpowiadać układowi obranemu w trakcie tych obliczeń.

[17]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

R_B=R_A-P_1+P_2=8000[N]

Rys. 3
Wykres naprężeń w przekrojach pręta.

Zadanie 2

Siła P=20000[N] przyłożona została do trzech stalowych prętów przegubowych. Pręty boczne mają pole przekroju poprzecznego F₂=0.5[cm²], natomiast pole przekroju poprzecznego pręta pionowego F₁=1[cm²], a jego długość wynosi l₁=2[m]. Oblicz siły w prętach i obniżenie ich punktu zbieżności.

Rysunek obciążonego układu prętowego do zadania 65. — Rys. 4
Rysunek obciążonego układu prętowego.

Dane:

$alpha = 25^o; l_1=2[m]; F_1=1left[cm^2right];F_2=frac{1}{2}left[cm^2right]; P=20000[N];E=2cdot 10^7left[frac{N}{cm^2}right]$

Rozwiązanie:

Dla układu z rysunku 3 można ułożyć następujące dwa równania równowagi:

[18]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\sum X=0: -S_2\cdot \sin\alpha +S_3\cdot \sin\alpha=0 \Rightarrow S_2 = S_3

[19]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\sum Y=0: S_2\cdot \cos \alpha +S_1+S_3\cdot \cos\alpha-P=0\Rightarrow S_1=P-2\cdot S_2\cdot \cos\alpha

Zanim spiszemy kolejne równanie, niezbędne do rozwiązania tego zadania, należy narysować przemieszczenia układu pod wpływem działania siły P.

Rysunek obciążonego układu prętowego z przemieszczeniami do zadania 65. — Rys. 5
Rysunek obciążonego układu prętowego z naniesionymi przemieszczeniami.

Jak ktoś uważnie przyjrzy się rysunkowi 4 to powie, że oznaczenia są błędne, przecież kąt znajdujący się pomiędzy prętami nieprzemieszczonymi powinien być większy od kąta zawartego pomiędzy prętami przemieszczonymi. Wszystko to prawda, jednakże my wiemy, że przemieszczenie prętów będzie bardzo małe w stosunku do długości prętów, więc i odchylenie kątów będzie niewielkie. Innymi słowy, błąd powstały w wyniku tego założenia będzie tak mały, że możemy sobie spokojnie na niego pozwolić.

No dobrze a teraz czas na kolejne równanie:

[20]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{\Delta l_2}{\Delta l_1}=\cos\alpha\Rightarrow \frac{\frac{S_2\cdot l_2}{E\cdot F_2}}{\frac{S_1\cdot l_1}{E\cdot F_1}}=\cos\alpha\Rightarrow S_2=\frac{S_1\cdot l_1\cdot F_2}{F_1\cdot l_2}\cdot \cos\alpha

Do pełni szczęścia brakuje nam tylko długości l₂, ale nie ma co płakać, ponieważ na podstawie rysunku 67 można wyliczyć tą wartość:

[21]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{l_1}{l_2}=\cos\alpha\Rightarrow l_2=\frac{l_1}{\cos\alpha}

Teraz policzyć można siły w prętach:

[22]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S_1+\frac{2\cdot S_1\cdot F_2}{F_1}\cdot \cos^3\alpha=P\Rightarrow S_1\cdot \left(1+\frac{2\cdot F_2}{F_1}\cdot \cos^3\alfa\right)=P\Rightarrow S_1 = \frac{P}{\left(1+\frac{2\cdot F_2}{F_1}\cdot \cos^3\alfa\right)}=11465[N]

[23]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S_1=S_2=\frac{P-S_1}{2\cdot \cos\alpha}=4709[N]

Pozostało obliczenie wydłużenia pręta pionowego:

[24]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\Delta l_1=\frac{S_1cdot l_1}{E\cdot F_1}=1,1465c\dot 10^{-3}[m]

Zadanie 3

Sztywna belka o długości 4a zawieszona została na czterech jednakowych prętach równoległych, rozstawionych w odległości a od siebie. Prawy koniec belki obciążony jest siłą P. Obliczyć siły w prętach.

Rys. 6
Rysunek belki zawieszonej na czterech prętach i obciążonej siłą P.

Dane:

$l[m], a[m], Fleft[cm^2right], P[N], Eleft[frac{N}{cm^2}right]$

Rozwiązanie:

Standardowo dwa równania równowagi do rysunku 6 można ułożyć:

[25]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\sum Y=0: S_1 + S_2 + S_3 + S_4 - P = 0

[26]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\sum M_A=0: a\cdot S_2+2\cdot a\cdot S_3+3\cdot a\cdot S_4-4\cdot a\cdot P=0

Kolejne równania napiszemy z przemieszczeń belki, które rozrysowane zostały na rysunku 6.

Rysunek belki z przemieszczeniami. — Rys. 6
Rysunek belki z naniesionymi przemieszczeniami.

Pozostałe równania, tradycyjnie z zastosowania prawa Hooke'a:

[27]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{\Delta l_2-\Delta l_1}{a}=\frac{\Delta l_3-\Delta l_1}{2\cdot a}=\frac{\Delta l_4-\Delta l_1}{3\cdot a}\Rightarrow \Delta l_2-\Delta l_1=\frac{\Delta l_3-\Delta l_1}{2}=\frac{\Delta l_4-\Delta l_1}{3}

To było równanie trygonometrycznej zależności wydłużeń poszczególnych prętów, a teraz już konkretnie zastosowanie prawa Hooke'a do powyższego równania:

[28]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\Delta l_1 = \frac{l\cdot S_1}{F\cdot E}

[29]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\Delta l_2 = \frac{l\cdot S_2}{F\cdot E}

[30]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\Delta l_3 = \frac{l\cdot S_3}{F\cdot E}

[31]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\Delta l_4 = \frac{l\cdot S_4}{F\cdot E}

Teraz podstawiamy do równania [27] i otrzymujemy:

[32]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S_2-S_1=\frac{1}{2}\cdot S_3-\frac{1}{2}\cdot S_1=\frac{1}{3}\cdot S_4-\frac{1}{3}\cdot S_1

I ostatecznie do rozwiązania mamy układ równań:

[33]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{cases} & S_1+S_2+S_3+S_4=P \\ & S_2+2cdot S_3+3cdot S_4=4cdot P \\ & -\frac{1}{2}\cdot S_1+S_2-\frac{1}{2}\cdot S_3=0 \\ & -\frac{2}{3}\cdot S_1 +S_2-\frac{1}{3}\cdot S_4=0\end{cases}

Powyższy układ można obliczyć metodą wyznaczników, lub metodą eliminacji Gausa lub w tradycyjny sposób przez podstawienie. W każdym bądź razie ja nie będę tu się rozpisywał z rozwiązaniem, tylko podam wyniki:

$S_1=-frac{1}{2}cdot P$

[34]

[35]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S_2=0

[36]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S_3=\frac{1}{2}\cdot P

[37]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S_4=P