Masowy moment bezwładności punktu materialnego
Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski
Stronę tą wyświetlono już: 11113 razy
Masowy moment bezwładności punktu materialnego
|
[1] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
I_Z=m\cdot r^2\left[kg\cdot m^2\right]
Masowy moment bezwładności zbioru punktów
|
[2] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
I_Z=\sum_{i=1}^{n} m_i\cdot r_i^2\left[kg\cdot m^2\right]
Masowy moment bezwładności bryły sztywnej
|
[3] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
I_Z=\int_{(V)}r^2\, dm
gdzie za dm można podstawić:
|
[4] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
dm=\rho\, dV
gdzie:
- - gęstość
- dV - objętość
ostatecznie podstawiając do wzoru [3] za dm wartość z wzoru [4] otrzymując następujący wzór:
|
[5] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
I_Z=\int_{(V)}r^2\cdot \rho \, dV
Zadanie 1
Wyznaczyć wzór na masowy odśrodkowy moment bezwładności walca.
Rozwiązanie:
Dla walca dV będzie wynosiło:
|
[6] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
dV=2\cdot \pi\cdot r\, dr
Podstawiamy do wzoru [4] za dV wzór [5] i obieramy granice od 0 do R:
|
[7] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
I_Z=\int_{0}^{R}r^2\cdot h\cdot \rho \cdot 2\cdot \pi\cdot r\, dr=2\cdot \pi\cdot\rho\cdot h\cdot \left[\frac{r^4}{4}\right]_0^R=\pi\cdot\rho\cdot h\cdot \frac{R^4}{2}
Wzór [7] można uprościć korzystając z następującej zależności:
|
[8] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
m=\rhocdot V=\rhocdot \pi\cdot R^2\cdot h
Ostatecznie podstawiając do wzoru [6] zależność [7] otrzymujemy:
|
[9] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
I_Z=\frac{1}{2}\cdot m\cdot R^2
Zadanie 2
Wyznaczyć wzór na masowy odśrodkowy moment bezwładności cylindra.
Rozwiązanie:
Korzystając z wzoru [7] na odśrodkowy moment bezwładności wyznaczyć można moment bezwładności cylindra:
|
[10] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
I_Z=I_Z=\pi\cdot\rho\cdot h\cdot \left(\frac{R^4}{2}-\frac{r^4}{2}\right)