Równanie dynamiczne ruchu obrotowego

Stronę tą wyświetlono już: 807 razy

Pochodna krętu KZ ciała po czasie jest równa sumie momentów obrotowych MZ względem osi Z:

Pochodna krętu i suma momentów [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{dK_z}{dt}=\sum_{i=1}^{n}M_{iz}

Kręt ciała względem osi Z jego obrotu jest równy iloczynowi odśrodkowego masowego momentu bezwładności IZ oraz prędkości kątowej ω.

Wzór na kręt względem osi Z [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

K_Z=I_Z\cdot \omega

Podstawiając równanie [2] do równania [1] otrzymujemy:

Podstawienie równanie [2] do równania [1] [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_Z\cdot \frac{d\omega}{dt}=\sum_{i=1}^{n}M_{iz}

Pochodna prędkości kątowej ω po dt jest niczym innym niż przyspieszeniem kątowym ε, więc ostatecznie równanie [3] przyjmuje następującą postać:

ostateczna postać równania [3] [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_Z\cdot \varepsilon =\sum_{i=1}^{n}M_{iz}

W powyższych równaniach wyrażenie MiZ może być momentem obrotowym M lub siłą P przemnożoną przez promień r jej działania względem środka obrotu.

Zadanie 1

Obliczyć przyspieszenie kątowe koła zamocowanego obrotowo w środku ciężkości jak na rysunku 1.

Rysunek do zadania 1
Rys. 1
Rysunek koła zamocowanego obrotowo w środku ciężkości i obciążonego momentem obrotowym i siłami.

Dane:

r=frac{1}{2}[m];m=100[kg]; P_1=10[kN]; P_2=15[kN]; M=20[Nm]

Rozwiązanie:

Zastosować należy tutaj równanie [4] oraz równanie [8] z strony Mechanika techniczna → Dynamika → Masowy moment bezwładności punktu materialnego masowego momentu bezwładności IZ dla walca.

Równanie [5] [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{1}{2}\cdot m\cdot r^2\cdot \varepsilon = M + P_1\cdot r - P_2\cdot r

Równanie [5] jest równaniem dynamicznej równowagi ruchu obrotowego dla układu z rysunku 1. Z tego równania wyznaczamy przyspieszenie kątowe ε i obliczamy jego wartość w następujący sposób:

Równanie [6] [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\varepsilon = \frac{M + P_1\cdot r - P_2\cdot r}{\frac{1}{2}\cdot m\cdot r^2}=1\frac{2}{5}\left[\frac{rad}{s}\right]

Komentarze