Rzutowanie punktu na prostą

Stronę tą wyświetlono już: 558 razy

Niech istnieją dwa wektory opisujące linię rzutowania V1 i V2 oraz rzutowany punkt V3. Konieczne jest następujące założenie: V1V2. Istnieje możliwość obliczenia wektora V4 będącego prostopadłym rzutem wektora V3 na prostą określoną wektorami V1 i V2 poprzez obliczenie współczynnika u za pomocą następującego wzoru:

u=frac{left(V_{3}.x-V_{1}.xright)cdot left(V_2.x-V_1.xright)+left(V_3.y-V_1.yright)cdot left(V_2.y-V_1.y)}{left(V_1.x-V_2.x)^2+left(V_1.y-V_2.y)^2} [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

u=\frac{\left(V_{3}.x-V_{1}.x\right)\cdot \left(V_2.x-V_1.x\right)+\left(V_3.y-V_1.y\right)\cdot \left(V_2.y-V_1.y)}{\left(V_1.x-V_2.x)^2+\left(V_1.y-V_2.y)^2}

będącego rozszerzeniem wzoru wykorzystującego iloczyn skalarny:

u=frac{left(V_{3}-V_{1}right)circ left(V_2-V_1right)}{left(V_1-V_2)circ left(V_1-V_2)^2} [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

u=\frac{\left(V_{3}-V_{1}\right)\circ \left(V_2-V_1\right)}{\left(V_1-V_2)\circ \left(V_1-V_2)^2}

Współczynnik u jest stosunkiem długości wektora otrzymanego z różnicy wektorów V4-V1 do długości wektora otrzymanego z różnicy wektorów V2-V1 (rys. 1).

Interpretacja graficzna wektorów użytych do obliczeń współczynnika u.
Rys. 1
Interpretacja graficzna wektorów użytych do obliczeń współczynnika u.

Znając więc wartość współczynnika u można obliczyć w współrzędne wektora V4 korzystając z operacji skalowania wektora V2-V1 przez wyliczony współczynnik u:

vec{V}_4=vec{V}_1+left(vec{V}_1-vec{V}_2right)cdot u [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\vec{V}_4=\vec{V}_1+\left(\vec{V}_1-\vec{V}_2\right)\cdot u

gdzie:

left(vec{V}_2-vec{V}_1right)cdot u=vec{V}_1-vec{V}_4 [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\left(\vec{V}_2-\vec{V}_1\right)\cdot u=\vec{V}_1-\vec{V}_4

Strony powiązane
strony powiązane
  1. Pod tym adresem można znaleźć wiele ciekawych wzorów związanych z geometrią obliczeniową wraz z opisanym tu wzorem

Załączniki:

Program pokazujący działanie algorytmu rzutowania punktu prostopadle na linię

Komentarze