Wyznaczanie punktu styczności do okręgu prostej przechodzącej przez dany punkt

Stronę tą wyświetlono już: 494 razy

Dany jest okrąg O o promieniu R oraz środku w punkcie VC oraz dowolny punkt V1, z którego można poprowadzić linie styczne do tego okręgu gdy spełniona jest nierówność [1]. W przypadku, gdy nierówność [1] nie jest spełniona punkt V1 znajduje się wewnątrz okręgu i nie jest możliwe poprowadzenie stycznych do okręgu O.

Równanie [1] [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\left|\vec{V}_c-\vec{V}_1\right|>R

W celu wyznaczenia punktów styczności V2 i V3 konstrukcji geometrycznej z rysunku 31 należy wykorzystując stare dobre i poczciwe twierdzenie Pitagorasa obliczyć długość różnicy wektorów V2 i V1, wzór [2] wyznacza tę odległość.

Konstrukcja geometryczna do obliczenia punktów styczności okręgu z punktem V1.
Rys. 1
Konstrukcja geometryczna do obliczenia punktów styczności okręgu z punktem V1.
Równanie [2] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\left|\vec{V}_2-\vec{V}_1\right|=\sqrt{R^2+\left|\vec{V}_C-\vec{V}_1\right|^2}

Nadszedł właściwy moment na wyznaczenie sinusa i kosinusa kąta leżącego pomiędzy wektorem VC-V2 a wektorem VC-V2. Do uzyskania tych wartości wykorzystane zostały stosunki odpowiednich długości boków trójkąta prostokątnego, jaki tworzą wektory V2, V1 oraz VC (prostopadłość trójkąta wynika ze styczności wektora V2 z okręgiem O). Zależności [3] oraz [4] umożliwiają wyliczenie sinusa i kosinusa kąta leżącego pomiędzy wektorem VC-V2 a wektorem VC-V2.

Równanie [3] [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

sin(\alpha)=\frac{\left|\vec{V}_2-\vec{V}_1\right|}{\left|\vec{V}_C-\vec{V}_1\right|}

Równanie [4] [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\cos(\alpha)=\frac{R}{\left|\vec{V}_C-\vec{V}_1\right|}

Teraz można przystąpić do obliczenia wektora pomocniczego Vp w następujący sposób:

Równanie [5] [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\vec{V}_p=\frac{\vec{V}_1-\vec{V}_C}{\left|\vec{V}_1-\vec{V}_C\right|}\cdot R

Teraz należy obrócić wektor pomocniczy Vp wykorzystując w tym celu wcześniej obliczone wartości sin(α) oraz cos(α) i dodać wektor przesunięcia VC

Równanie [6] [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V_2.x=V_p.x\cdot \cos(\alpha)-V_p.y\cdot \sin(\alpha)+V_{C}.x

Równanie [7] [7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V_2.y=V_p.x\cdot \sin(\alpha)+V_p.y\cdot \cos(\alpha)+V_{C}.y

Równanie [8] [8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V_3.x=V_p.x\cdot \cos(\alpha)+V_p.y\cdot \sin(\alpha)+V_{C}.x

Równanie [9] [9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V_3.y= V_p.y\cdot \cos(\alpha)-V_p.x\cdot \sin(\alpha)+V_{C}.y

Załączniki:

Program pokazujący działanie algorytmu wyznaczania stycznych do okręgu

Komentarze