Pierwiastkowanie

Stronę tą wyświetlono już: 544 razy

Metoda Newtona umożliwia uzyskanie przybliżonej wartości pierwiastka n-tego stopnia z liczby x przy skończonej liczbie kroków. Na dobry początek Weźmy więc dowolną liczbę A oraz liczbę x, będącą pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby A:

Równanie [1] [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x=\sqrt[n]{A}

teraz równanie [1] należy obustronnie podnieść do potęgi n, otrzymując równość:

Równanie [2] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

A=x^n

szukana jest taka wartość x, dla której:

Równanie [3] [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x^n-A=0

Metoda Newtona wykorzystuje pochodną funkcji f(x)=xn-A, której pochodna ma następującą postać:

Równanie [4] [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f'(x)=n\cdot x^{n-1}

Ponieważ pochodna funkcji w danym punkcie jest niczym innym jak tangensem kąta zawartego pomiędzy osią x a prostą styczną do funkcji f(x), więc dla zadanej wartości początkowej x0 możliwe jest obliczenie odległości położenia punktu przecięcia się stycznej z osią x od punktu początkowego x0 w następujący sposób:

Równanie [5] [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\Delta x=\frac{f(x)}{f'(x)}=\frac{x^n-A}{n\cdot x^{n-1}}

Globalne położenie punktu można obliczyć odejmując wyrażenie [5] od x0, lub bardziej ogólnie od xk-1 otrzymując nowy punkt xk, który znajduje się bliżej rozwiązania zadania:

Równanie [6] [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x_k=x_{k-1}-\frac{f(x)}{f'(x)}=x_{k-1}-\frac{{x_{k-1}}^n-A}{n\cdot {x_{k-1}}^{n-1}}

Przyjrzyjmy się teraz bliżej funkcji f(x)=xn-A, której przebieg można obejrzeć na rysunku 1. Styczna do funkcji f(x) w punkcie x0 przecina oś x pod kątem α, nieznaną wartość Δx można więc obliczyć przekształcając następujące równanie:

Równanie [7] [7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\tan\, \alpha=f'\left(x_0\right)=\frac{f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}\Rightarrow \Delta x=\frac{\fleft(x_0\right)}{f'\left(x_0\Right)}

Równanie [5] wynika więc z powyższej zależności. W kolejnych krokach otrzymywany jest punkt znajdujący się coraz bliżej miejsca zerowego funkcji f(x), którego wartość jest poszukiwana.<

Wykres funkcji <b>f</b>(<b>x</b>)=<b>x<sup>n</sup></b>-<b>A</b>.
Rys. 1
Wykres funkcji f(x)=xn-A.

Dla A>1 początkowa wartość x0=A ponieważ dla każdej liczby l spełniona jest nierówność l2>l, natomiast dla A≤ 1 początkowa wartość x0=1, ponieważ dla każdej liczby l<1 spełniona jest nierówność l2<l. Powyższe warunki nie są konieczne do spełnienia, jednakże mają one wpływ na czas uzyskania wyniku.

Uproszczona wersja równania [6] minimalizuje ilość niezbędnych operacji potęgowania:

Równanie [8] [8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x_k=x_{k-1}-\frac{x_{k-1}}{n}+\frac{A}{n\cdot {x_{k-1}}^{n-1}}=\frac{1}{n}\cdot\left(x_{k-1}\cdot \left(n-1\right)+\frac{A}{{x_{k-1}}^{n-1}}\right)

Powyższe równanie dla pierwiastka kwadratowego upraszcza się do następującej postaci:

Równanie [9] [9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x_k=\frac{1}{2}\cdot\left(x_{k-1}+\frac{A}{x_{k-1}} \right)

Korzystając z równania [9] można uzyskać przybliżoną wartość pierwiastka z dwóch w następujący sposób:

xn

x_0=frac{1}{2}cdotleft(2+frac{2}{2}right)=1frac{1}{2}=1.5

x_1=frac{1}{2}cdotleft(1frac{1}{2}+frac{2}{1frac{1}{2}}right)=1frac{5}{12}=1.41(6)

x_2=frac{1}{2}cdotleft(1frac{5}{12}+frac{2}{1frac{5}{12}}right)=1frac{169}{408}approx 1.4142156862745...

x_3=frac{1}{2}cdotleft(1frac{169}{408}+frac{2}{1frac{169}{408}}right)=1frac{195025}{470832}approx 1.41421356237469...

x_4=frac{1}{2}cdotleft(1frac{195025}{470832}+frac{2}{1frac{195025}{470832}}right)=1frac{2744210}{6625109}approx 1,41421356237309...

Graficzne wyznaczenie pierwiastków kwadratowych z liczb całkowitych można obejrzeć na rysunku 2. Oczywiście zmienna a powinna być równa jednej jednostce długości aby otrzymane długości odcinków były równe pierwiastkowi kwadratowemu danej liczby jednostek.

Graficzne wyznaczenie pierwiastka kwadratowego.
Rys. 2
Graficzne wyznaczenie pierwiastka kwadratowego.

Komentarze