Potęgowanie

Stronę tą wyświetlono już: 585 razy

Potęgowanie jest odwrotnością pierwiastkowania, podstawowy wzór na całkowitą n-tą potęgę liczby a jest następujący:

Równanie [1] [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a^n=\prod_{i=1}^{n}{a}

Podniesienie do potęgi np. 100 dowolnej liczby a wymaga stukrotnego mnożenia a. Nie jest to zbyt przyjemne i wydajne, jednakże można obliczenia usprawnić, znając podstawowe zasady potęgowania, które są następujące:

Dla mnożenia potęg liczby a zachodzi równość:

Równanie [2] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a^n\cdot a^k=a^{n+k}

Dla dzielenia potęg liczby a zachodzi równość:

Równanie [3] [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{a^n}{a^k}=a^{n-k}

Ktoś kiedyś zadał mi pytanie, dlaczego a0=1 ? Odpowiedzią na to pytanie jest wzór [3], wystarczy podstawić za n i k 1 w następujący sposób:

Równanie [4] [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{a^1}{a^1}=a^{1-1}=a^0=1

Korzystając z zależności [2] potęgę a100 można rozpisać w następujący sposób:

Równanie [5] [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a^{100}=a^{2^6}\cdot a^{2^5} \cdot a^{2^2}=a^{64}\cdot a^{32}\cdot a^{4}

Powyższe rozpisanie potęgi a100 wynika z następującego ciągu:

Równanie [6] [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

b_n=a^{2^{n-1}}

rozpisując 8 pierwszych elementów ciągu [6] otrzymuje się następujące potęgi liczby a:

bn

b_1=a^{2^0}=a^1

b_2=b_1cdot b_1=a^{2^1}=a^2

b_3=b_2cdot b_2=a^{2^2}=a^4

b_4=b_3cdot b_3=a^{2^3}=a^8

b_5=b_4cdot b_4=a^{2^4}=a^{16}

b_6=b_5cdot b_5=a^{2^5}=a^{32}

b_7=b_6cdot b_6=a^{2^6}=a^{64}

b_8=b_7cdot b_7=a^{2^7}=a^{128}

Mnożąc przez siebie elementy ciągu bn, dla których suma potęg jest równa 100, uzyskuje się a100. Do określenia elementów ciągu bn, które należy przemnożyć przez siebie może posłużyć zapis binarny potęgi liczby a wynoszącej w rozpatrywanym przypadku 100. Binarny zapis liczby 100 jest więc następujący:

Równanie [7] [7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

100d=1100100b

Zaczynając od prawej strony kolejne cyfry zapisu binarnego potęgi odpowiadają kolejnym elementom ciągu bn, przy czym wartość 1 oznacza element ciągu bn, który jest składową iloczynu potęg [5]. I tak dla:

  • n=1 pierwsza cyfra od prawej strony zapisu binarnego potęgi 100 jest równa 0;
  • n=2 → 0;
  • n=3 → 1 - będzie mnożona;
  • n=4 → 0;
  • n=5 → 0;
  • n=6 → 1 - będzie mnożona;
  • n=7 → 1 - będzie mnożona.

I stąd wiadomo, że elementy ciągu b3, b6 i b7 przemnożone przez siebie dają w wyniku a100. W ten sposób liczba przemnożeń skraca się z 100 do 7 potrzebnych do wyznaczenia kolejnych elementów ciągu bn i dwóch mnożeń b3b6b7, razem więc 9 operacji mnożenia w celu wyznaczenia a100.

Liczbę podnoszoną do ujemnej potęgi n można wyznaczyć poprzez obliczenie odwrotności potęgi -n, co wynika ze wzoru [3]. Wzór więc przyjmuje następującą postać:

Równanie [8] [8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a^{n}=frac{1}{a^{-n}}

Istnieje ścisłe powiązanie potęgowania z pierwiastkowaniem, które opisuje następująca równość:

Równanie [9] [9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a^{frac{m}{n}}=sqrt[n]{a^m}

Wykorzystując wzór [9] można obliczyć przybliżoną wartość każdej potęgi.

Komentarze