Doświadczenie losowe, zbiór jego wyników, zdarzenie losowe oraz zdarzenie elementarne

Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 6607 razy

Doświadczeniem losowym jest doświadczenie, które może być dowolnie powtarzane w warunkach identycznych lub zbliżonych, a którego wyniku nie da się jednoznacznie przewidzieć.

Zbór wszystkich wyników danego doświadczenia nazywa się zbiorem (przestrzenią) wszystkich zdarzeń elementarnych i oznacza się go symbolem Ω (czyt. omega).

Pojedynczy element zdarzenia nazywa się zdarzeniem elementarnym i oznacza się je symbolem ω z indeksem dolnym np. ω₁, ω₂, ..., ω_n.

Przykład

Ze zbioru A={1; 2; 4; 7} losujemy ze zwracaniem dwie cyfry budując liczbę dwucyfrową. Ile istnieje możliwych wyników takiego losowania.

Uwaga!

1) Doświadczenie jednoetapowe - jedno losowanie, jeden wybór lub też jedna próba (wszystkich wyników takiego doświadczenia jest tyle, ile zbiór A zawiera elementów.

Doświadczenie wieloetapowe - polega na powtarzaniu jednej próby n razy.

Rozwiązanie:

W tym przypadku mamy do czynienia z doświadczeniem dwuetapowym, tworzę więc dwuetapowe wariacje z powtórzeniami ze zbioru czteroelementowego.

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

W_{4}^{2}=4^{2}=16

Zbiór Ω składa się z 16-tu zdarzeń elementarnych. Pojedynczym zbiorem elementarnym jest utworzona liczba dwucyfrowa.

Ω={22; 32; 52; 72; 23; 33; 53; 73; 25; 35; 55; 75; 27; 35; 55; 75; 27; 37; 57; 77}

Dowolny podzbiór zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych Ω nazywamy zdarzeniem losowym (lub krócej zdarzeniem) i oznaczamy dużymi literami A, B, C ... itd.

A - zdarzenie, w którym utworzona liczba dwucyfrowa jest parzysta.

A = {22; 32; 52; 72}

Liczebność zbioru A jest równa 4

Uwaga!

ω = A - czyta się: "zdarzenie elementarne ω sprzyja zajściu zdarzenia losowego A

ω ≠ A - czyta się: "zdarzenie elementarne ω nie sprzyja zajściu zdarzenia losowego A

Zapis {A}over{=}=4 czytamy: "zdarzeniu losowemu A sprzyjają cztery zdarzenia elementarne

B - zdarzenie, w którym otrzymana liczba dwucyfrowa jest podzielna przez 10.

Zdarzeniu losowemu B nie sprzyja żadna z otrzymanych liczb dwucyfrowych. {B}over{=}=0 .

Jeżeli danemu zdarzeniu losowemu nie sprzyja żadne zdarzenie elementarne, to takie zdarzenie nazywa się niemożliwym i oznacza przez ϕ, tzn.

C - zdarzenie, w którym dana liczba jest większa niż 21

Zdarzenie C jest zdarzeniem pewnym ponieważ jest on równy zbiorowi Ω, co oznacza, że zdarzeniu C sprzyjają wszystkie zdarzenia elementarne danego doświadczenia.

Zadanie 1

Z talii 52 kart losowo wybrano trzy karty: a) określ i oblicz zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych; b) oblicz liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zajściu zdarzeń: A - zdarzenie, w którym wylosowano jednego asa; B zdarzenie, w którym wylosowano same asy; C zdarzenie, w którym nie wylosowano żadnego asa.

Rozwiązanie

a) Doświadczenie trój-etapowe.

Zbiór Ω tworzy trój-etapowe kombinacje bez powtórzeń ze zbioru 52-elementowego.

[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

C_{52}^{3}=\frac{52!}{3!\cdot(52-3)!}=22100

Zbiór Ω składa się z 22100 elementów. Inaczej można zapisać {Omega}over{=}=22100

b) liczebność zbioru zdarzeń A obliczymy z iloczynu dwóch kombinacji bez powtórzeń w następujący sposób:

[3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\overline{\overline A}=C_{4}^{1}\cdot C_{48}^{2}=\frac{4!}{1!\cdot(4-1)!}\cdot\frac{48!}{2!\cdot(48-2)!}=4512

Liczebność zbioru B obliczymy z kombinacji bez powtórzeń dla n=4 bo w talii znajdują się tylko cztery asy (no chyba, że ktoś oszukuje).

[4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\overline{\overline{B}}=C_{4}^{3}=\frac{4!}{3!\cdot(4-3)!}=4

Liczebność zbioru C obliczymy z kombinacji bez powtórzeń dla n=48, bo tyle ma talia pozbawiona w bestialski sposób asów.

[5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\overline{\overline{B}}=C_{48}^{3}=\frac{48!}{3!\cdot(48-3)!}=4

Zadanie 2

Wykonujemy czterokrotny rzut monetą: a) opisz zbiór Ω; b) wypisz i oblicz zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu: A zdarzenie, w którym wypadły same reszki; B - zdarzenie, w którym wypadły dokładnie dwie reszki; C - zdarzenie, w którym wypadła co najwyżej jedna reszka.

Rozwiązanie:

a) Zbiór Ω tworzą cztero-elementowe wariacje z powtórzeniami ze zbioru dwu-elementowego (doświadczenie cztero-etapowe).

[6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\overline{\overline{\Omega}}=W_{2}^{4}=2^{4}=16

Zbiór Ω={(O; O; O; O) (O; O; O; R) (O; O; R; O) (O; O; R; R) (O; R; O; O) (O; R; O; R) (O; R; R; R;) (R; O; O; O) (R; O; O; R) (R; O; R; O) (R; O; R; R) (R; R; O; O) (R; R; O; R) (R; R; R; O) (R; R; R; R)}

b) Zbiór A={(R; R; R; R)}, liczebność jego wynosi {A}over{=}=1