Algebra zdarzeń (działania na zdarzeniach)

Stronę tą wyświetlono już: 602 razy

Działania na zdarzeniach są takie same jak działania na zbiorach:

1) Suma zdarzeń.

Niech A, BΩ. Graficzną interpretację takiego zdarzenia widoczny jest na rysunku 1

suma zdarzeń A i B
Rys. 1
Graficzna interpretacja sumy zdarzeń

ωAB<=>ωAωB

2) Iloczyn zdarzeń (część wspólna)

iloczyn zdarzeń A i B
Rys. 2
Graficzna interpretacja iloczynu zdarzeń A i B.

ωAB<=>ωAωB

3) Różnica zdarzeń

różnica zdarzeń A i B
Rys. 3
Graficzna interpretacja różnicy zdarzeń A i B.

ωAB<=>ωAωB

ωBA<=>ωBωA

4) Zdarzenia wykluczające się (rozłączne) są to zdarzenia, których część wspólna jest zbiorem pustym lub inaczej mówiąc niemożliwym.

wykluczające się zdarzenia A i B
Rys. 4
Graficzna interpretacja wykluczających się zdarzeń A i B.

AB

5) Zdarzenia przeciwne (dopełnienie zbioru)

graficzna interpretacja zdarzenia przeciwnego
Rys. 5
Graficzna interpretacja zdarzenia przeciwnego.

A' - zdarzenie przeciwne do zdarzenia A

Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A nazywa się zdarzenie A'=ΩAA'A=ΩA'A

Zadanie 1

Ze zbioru A={1; 4; 5; 6} losujemy kolejno ze zwracaniem dwie cyfry tworząc liczbę dwucyfrową: a) określ zbiór Ω; b) oblicz liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zajściu zdarzenia: A dla którego otrzymana liczba jest parzysta; B zdarzenie, dla którego liczba jest podzielna przez 4; C otrzymana liczba jest nieparzysta oraz wyznaczyć liczebność zbiorów B', AC i BC.

Rozwiązanie:

a) Zbiór Ω tworzą dwuetapowe wariacje z powtórzeniami ze zbioru cztero-elementowego.

Równanie [1] [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

{W_{4}}^{2}=4^{2}=16

Ω={11; 14; 15; 16; 41; 44; 45; 46; 51; 54; 55; 56; 61; 64; 65; 66}

b) Zdarzenie A={14; 16; 44; 46; 54; 56; 64; 66} liczebność zbioru {A}over{=}=8

Zdarzenie B={16; 44; 56; 64} liczebność zbioru {B}over{=}=4

Zdarzenie C={11; 15; 41; 45; 41; 55; 61; 65} liczebność zbioru wynosi 8

Zdarzenie B' - otrzymane liczby nie są podzielne przez cztery.

B'={11; 14; 15; 41; 45; 46; 51; 54; 55; 61; 65; 66} liczebność zbioru {{B}'}over{=}=12

AB - otrzymana liczba jest parzysta a zarazem nieparzysta

AB=ϕ - zbiór pusty

BC - otrzymana liczba jest podzielna przez cztery lub nieparzysta.

BC={16; 44; 56; 64; 11; 15; 41; 45; 51; 55; 61; 65}, liczebność tego zbioru jest równa 12

Zadanie 2

Na loterii jest 20 losów w tym 5 wygrywających. Losowo kupiono trzy losy: a) określ zbiór Ω i podaj liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych; b) oblicz liczbę zdarzeń sprzyjających zajściu zdarzenia: A - wylosowano dokładnie jeden los wygrywający; B wylosowano przynajmniej jeden głos wygrywający; C wylosowano co najwyżej jeden los wygrywający.

Rozwiązanie:

a) Zbiór Ω składa się z kombinacji bez powtórzeń, w związku z czym liczebność tego zbioru można obliczyć w następujący sposób:

Równanie [2] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\overline{\overline{\Omega}}=C_{20}^{3}=\frac{20!}{3!\cdot(20-3)!}=1140

b) Na liczebność zbioru A składa się iloczyn zbioru kombinacji bez powtórzeń dla wylosowanego losu wygrywającego i kombinacji bez powtórzeń dwóch losów przegrywających.

Równanie [3] [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\overline{\overline{\Omega}}=C_{5}^{1}\cdot{C_{15}}^{2}=\frac{5!}{1!\cdot(5-1)!}\cdot\frac{15!}{1!\cdot(15-1)!}=525

Zbiór B można obliczyć stosując zależność B=ΩB'

Równanie [4] [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\overline{\overline{B}}=\overline{\overline{\Omega \setminus B '}}=1140-C_{15}^{3}=1140-\frac{15!}{3!\cdot(15-3)!}=685

Oczywiście można to rozpisać w bardziej bezpośredni, ale i bardziej złożony obliczeniowo sposób:

Równanie [5] [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\overline{\overline{B}}=C_{5}^{1}\cdot C_{15}^{2}+C_{5}^{2}\cdot C_{15}^{1}+C_{5}^{3}=\frac{5!}{1!\cdot(5-1)!}\cdot\frac{15!}{2!\cdot(15-2)!}+\frac{5!}{2!\cdot(5-2)!}\cdot\frac{15!}{1!\cdot(15-1)!}+\frac{5!}{3!\cdot(5-3)!}=685

Zbiór C składa się z sumy kombinacji bez powtórzeń dla trzech przegranych losów i dla iloczynu kombinacji bez powtórzeń jednego losu wygrywającego i jednego przegrywającego.

Równanie [6] [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\overline{\overline{C}}=C_{15}^{3}+C_{5}^{1}\cdot C_{15}^{2}=\frac{15!}{3!\cdot(15-3)!}+\frac{5!}{1!\cdot(5-1)!}\cdot\frac{15!}{2!\cdot(15-2)!}=980

Komentarze