Rozwiązywanie liniowych układów równań metodą podstawienia

Stronę tą wyświetlono już: 402 razy

Każdy rozwiązywalny układ równań z n niewiadomymi jest możliwy do rozwiązania metodą podstawiania. Polega ona na takim przekształceniu jednego z równań, aby wyznaczona została jedna z niewiadomych. Wyznaczoną wartość podstawia się do pozostałych równań powtarzając tą samą czynność do momentu uzyskania równania, w którym pozostaje tylko jedna niewiadoma.

Po wyliczeniu wartości danej niewiadomej pozostaje jedynie podstawianie i wyznaczenie pozostałych niewiadomych.

Coby zbyt długo nie biadolić, oto prosty przykład takiego sposobu rozwiązywania układu równań z trzema niewiadomymi:

Równanie [1] [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{cases} 3\cdot x-7\cdot y+8\cdot z=1 \\ 17\cdot x+5\cdot y-3\cdot z=2 \\ 5\cdot x-2\cdot y+2\cdot z=0 \end{cases}

Z trzeciego równania wyznaczam z w następujący sposób:

Równanie [2] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{cases} 3\cdot x-7\cdot y+8\cdot z=1 \\ 17\cdot x+5\cdot y-3\cdot z=2 \\ z=y-2\cfrac{1}{2}\cdot x\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}3\cdot x-7\cdot y+8\cdot \left(y-2\cfrac{1}{2}\cdot x\right)=1 \\ 17\cdot x+5\cdot y-3\cdot \left(y-2\cfrac{1}{2}\cdot x\right)=2 \\ z=y-2\frac{1}{2}\cdot x\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y-17\cdot x=1 \\ 2\cdot y+24\cfrac{1}{2}\cdot x=2 \\ z=y-2\cfrac{1}{2}\cdot x \end{cases}

Czas dobrać się do równania pierwszego i wyznaczyć z niego y:

Równanie [3] [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{cases} y=17\cdot x+1 \\ 2\cdot y+24\cfrac{1}{2}\cdot x=2 \\ z=y-2\cfrac{1}{2}\cdot x\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y=17\cdot x+1 \\ 2\cdot (17\cdot x+1)+24\cfrac{1}{2}\cdot x=2 \\ z=y-2\cfrac{1}{2}\cdot x \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} y=17\cdot x+1 \\ 58\cfrac{1}{2}\cdot x=0 \\ z=y-2\cfrac{1}{2}\cdot x\end{cases} \Rightarrow x=0

Wygląda na to, żeśmy się tyle naliczyli tylko po to, by dowiedzieć się, że x=0. Podstawiamy więc do pierwszego równania za x i otrzymujemy y:

Równanie [4] [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

y=17\cdot x+1=1

W końcu, podstawiamy do trzeciego równania za x i y znane nam już wartości:

Równanie [5] [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

z=y-2\frac{1}{2}\cdot x=1

W ten oto sposób wyliczyliśmy, że x=0, y=z=1.

Komentarze