Rozwiązywanie liniowych układów równań metodą przeciwnych współczynników

Stronę tą wyświetlono już: 394 razy

Najwyższy już czas nauczyć się metody eliminacji niewiadomych za pomocą metody przeciwnych współczynników. Na czym ta metoda polega? Obieramy jedno z równań, w którym najwygodniej jest tak przemnożyć je obustronnie, aby współczynnik stojący przy danej zmiennej w tymże równaniu był równy współczynnikowi stojącemu przy drugim równaniu z przeciwnym znakiem. Tak uzyskane równania dodaje się stronami uzyskując nowe równanie uboższe o jedną niewiadomą.

Dla przykładu weźmy prosty układ równań z dwiema niewiadomymi:

Równanie [1] [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{cases} 2\cdot x-3\cdot y=13 \\ 3\cdot x-2\cdot y=12\end{cases}

W tym przypadku najlepiej jest przemnożyć pierwsze równanie przez 3, zaś drugie przez -2:

Równanie [2] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{cases}2\cdot x-3\cdot y=13 {/}\cdot3 \\ 3\cdot x-2\cdot y=12 {/}\cdot -2\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 6\cdot x-9\cdot y=39 \\ -6\cdot x+4\cdot y=-24 \end{cases}

Dodaję stronami oba równania i otrzymuję:

Równanie [3] [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

6\cdot x-9\cdot y-6\cdot x+4\cdot y=39-24 \Rightarrow -5\cdot y=15 \Rightarrow y=-3

Teraz podstawić należy za y wyliczoną wartość do jednego z równań układu [1]:

Równanie [4] [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

2\cdot x-3\cdot (-3)=13 \Rightarrow 2\cdot x=4 \Rightarrow x=2

Rozwiązanie to x=2, y=-3.

Teraz dobierzemy się do nieco trudniejszego zadania z trzema niewiadomymi:

Równanie [5] [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{cases} 3\cdot x-7\cdot y+8\cdot z=1 \\ 17\cdot x+5\cdot y-3\cdot z=2 \\ 5\cdot x-2\cdot y+2\cdot z=0\end{cases}

Pomnóżmy łaskawie ostatnie równanie układu równań [5] przez -1 a następnie dodajmy stronami wszystkie trzy równania otrzymując następujące, nowe i pozbawione zmiennej y równanie:

Równanie [6] [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

15\cdot x-3\cdot z=3

Przydało by się drugie równanie, które by było pozbawione zmiennej y więc czym prędzej mnożę w układzie równań [5] ostatnie równanie przez 2,5 oraz dodaję je do równania drugiego, otrzymując kolejne równanie pozbawione zmiennej y:

Równanie [7] [7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

29\frac{1}{2}\cdot x+2\cdot z=2

Równanie [7] mnożę obustronnie przez 1,5 by uzyskać przy zmiennej z współczynnik odwrotny do stojącego przy tej samej zmiennej w równaniu [6], otrzymując tym samym równanie:

Równanie [8] [8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

44\frac{1}{4}\cdot x+3\cdot z=3

Pozostaje nic innego jak dodać stronami równania [6] i [8] otrzymując następujące równanie:

Równanie [9] [9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

59\frac{1}{4}\cdot x=0 \Rightarrow x=0

Podstawiając do równania [8] dostajemy wartość z=1, a podstawiając znane już nam dane do jednego z równań z układu równań [5] otrzymujemy y=1.

Komentarze