Rozwiązywanie liniowych układów równań metodą przeciwnych współczynników
Stronę tą wyświetlono już: 2631 razy
Najwyższy już czas nauczyć się metody eliminacji niewiadomych za pomocą metody przeciwnych współczynników. Na czym ta metoda polega? Obieramy jedno z równań, w którym najwygodniej jest tak przemnożyć je obustronnie, aby współczynnik stojący przy danej zmiennej w tymże równaniu był równy współczynnikowi stojącemu przy drugim równaniu z przeciwnym znakiem. Tak uzyskane równania dodaje się stronami uzyskując nowe równanie uboższe o jedną niewiadomą.
Dla przykładu weźmy prosty układ równań z dwiema niewiadomymi:
[1] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
W tym przypadku najlepiej jest przemnożyć pierwsze równanie przez 3, zaś drugie przez -2:
[2] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Dodaję stronami oba równania i otrzymuję:
[3] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Teraz podstawić należy za y wyliczoną wartość do jednego z równań układu [1]:
[4] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Rozwiązanie to x=2, y=-3.
Teraz dobierzemy się do nieco trudniejszego zadania z trzema niewiadomymi:
[5] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Pomnóżmy łaskawie ostatnie równanie układu równań [5] przez -1 a następnie dodajmy stronami wszystkie trzy równania otrzymując następujące, nowe i pozbawione zmiennej y równanie:
Przydało by się drugie równanie, które by było pozbawione zmiennej y więc czym prędzej mnożę w układzie równań [5] ostatnie równanie przez 2,5 oraz dodaję je do równania drugiego, otrzymując kolejne równanie pozbawione zmiennej y:
Równanie [7] mnożę obustronnie przez 1,5 by uzyskać przy zmiennej z współczynnik odwrotny do stojącego przy tej samej zmiennej w równaniu [6], otrzymując tym samym równanie:
Pozostaje nic innego jak dodać stronami równania [6] i [8] otrzymując następujące równanie:
Podstawiając do równania [8] dostajemy wartość z=1, a podstawiając znane już nam dane do jednego z równań z układu równań [5] otrzymujemy y=1.
Tytuł:
Matematyka w uczeniu maszynowym
Autor:
Marc Peter Deisenroth, A. Aldo Faisal, Cheng Soon Ong
Tytuł:
Matematyka dyskretna dla praktyków. Algorytmy i uczenie maszynowe w Pythonie
Autor:
Ryan T. White, Archana Tikayat Ray
Tytuł:
Matematyka w Pythonie. Algebra, statystyka, analiza matematyczna i inne dziedziny
Autor:
Amit Saha
Tytuł:
Matematyka dla menedżerów. Wydanie II
Autor:
Michael C. Thomsett
Tytuł:
Matematyka Poradnik encyklopedyczny
Autor:
I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew
Tytuł:
Matematyka finansowa
Autor:
Jacek Jakubowski, Andrzej Palczewski, Marek Rutkowski, Łukasz Stettner
Tytuł:
Proste jak pi Matematyka to bułka z masłem
Autor:
Liz Strachan
Tytuł:
O twierdzeniach i hipotezach. Matematyka według Delty
Autor:
Witold Sadowski, Wiktor Bartol
Tytuł:
Matematyka dla biologów
Autor:
Dariusz Wrzosek
Tytuł:
Matematyka dla programistów Java
Autor:
Jacek Piechota