Rozwiązywanie układów równań za pomocą wzorów Cramera

Stronę tą wyświetlono już: 443 razy

Czas obczaić kolejną dość ciekawą metodę rozwiązywania układów równań liniowych. Tą metodą są wzory Cramera, odkryte przez szwajcarskiego matematyka Gabriela Cramera.

Wzory te wykorzystują wyznaczniki macierzy kwadratowej spreparowanej z współczynników stojących przy niewiadomych oraz z wyrazów wolnych. Ogólny wzór wyznaczający i-tą niewiadomą w układzie równań przybiera postać następującą:

Równanie [1] [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x_i=\cfrac{W_i}{W_g}

gdzie:

  • xi - i-ta niewiadoma
  • Wi - współczynnik macierzy utworzonej dla i-tej niewiadomej
  • Wg - współczynnik macierzy utworzonej z współczynników stojących przy niewiadomej

Zanim napiszę jak tworzone są macierze, poniżej zamieszczam postać, do której należy doprowadzić układ równań, aby możliwe było prawidłowe utworzenie takiej macierzy.

Równanie [2] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{cases} a_{1,1}\cdot x_{1}+a_{2,1}\cdot x_{2}+\cdots+a_{n,1}\cdot x_{n}=b_{1} \\ a_{1,2}\cdot x_{1}+a_{2,2}\cdot x_{2}+\cdots+a_{n,2}\cdot x_{n}=b_{2} \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vdots \\ a_{1,n}\cdot x_{1}+a_{2,n}\cdot x_{2}+\cdots+a_{n,n}\cdot x_{n}=b_{n}\end{cases}

Macierz wyznacznika głównego Wg będzie więc przyjmowała następującą postać:

Macierz wyznacznika głównego potrzebna do rozwiązania układu równań metodą Cramera [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

W_{g}=\begin{vmatrix}{a_{1,1}} && a_{2,1} && \cdots && a_{n,1} \\ a_{1,2} && a_{2,2} && \cdots && a_{n,2} \\ \vdots && \vdots && \vdots && \vdots \\ a_{1,n} && a_{2,n} && \cdots && a_{n,n}\end{vmatrix}

Macierz wyznacznika Wi jest podobna do macierzy głównego wyznacznika Wg z tą tylko różnicą, że i-tą kolumnę zastępuje kolumna wyrazów wolnych w następujący sposób:

Wzórn i-ty wyznacznik układu równań, niezbędny do obliczenia metodą Cramera [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

W_{i}=\begin{vmatrix} a_{1,1} && a_{2,1} && \cdots && b_{1} && \cdots && a_{n,1} \\ a_{1,2} && a_{2,2} && \cdots && b_{2} && \cdots && a_{n,2} \\ \vdots && \vdots && \vdots && \vdots && \vdots && \vdots \\ a_{1,n} && a_{2,n} && \cdots && b_{n} && \cdots && a_{n,n}\end{vmatrix}

gdzie kolumna z wyrazami wolnymi: b1, b2, ..., bn jest wstawiana za i-tą kolumnę macierzy wyznacznika głównego Wg.

Ogólny wzór na wyznacznik macierzy dowolnych rozmiarów, ma następującą postać:

Ogólny wzór na wyznacznik macierzy dowolnych rozmiarów metodą Laplece'a [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

|A|=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+i}\cdot a_{k,i}\cdot \left|A_{i,k}\right|

W dziale Matematyka → Macierze → Wyznacznik macierzy opisane zostało dokładnie zastosowanie wzoru [5], w celu więc zapoznania się z jego zastosowaniem odsyłam was do tamtego miejsca. Ja jedynie przytoczę tutaj jeszcze dwa wzory, pierwszy na wyznacznik macierzy o rozmiarach 2 x 2:

Przykład obliczania wyznacznika macierzy 2x2 [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{vmatrix} a_{1,1} && a_{1,2} \\ a_{2,1} && a_{2,2} \end{vmatrix}=a_{1,1}\cdot a_{2,2}-a_{1,2}\cdot a_{2,1}

oraz dla macierzy 3 x 3:

Przykład obliczania wyznacznika macierzy 3x3 [7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{vmatrix}a_{1,1} && a_{1,2} && a_{1,3} \\ a_{2,1} && a_{2,2} && a_{2,3} \\ a_{3,1} && a_{3,2} && a_{3,3}\end{vmatrix}=a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3}+a_{2,1}\cdot a_{3,2}\cdot a_{1,3}+a_{3,1}\cdot a_{1,2}\cdot a_{2,3}-a_{1,3}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,1}-a_{2,3}\cdot a_{3,2}\cdot a_{1,1}-a_{3,3}\cdot a_{1,2}\cdot a_{2,1}

Zadanie 1

Rozwiązać układ równań z dwiema niewiadomymi:

Równanie [8] [8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{cases}2\cdot x-3\cdot y=13 \\ 3\cdot x-2\cdot y=12 \end{cases}

Rozwiązanie:

Obliczam wyznacznik główny Wg:

Równanie [9] [9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

W_{g}=\begin{vmatrix} 2 && -3 \\ 3 && -2\end{vmatrix}=2\cdot(-2)-(-3)\cdot 3=5

A teraz wyznacznik Wx:

Równanie [10] [10]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

W_{x}=\begin{vmatrix}13 && -3 \\ 12 && -2\end{vmatrix}=13\cdot (-2)-(-3)\cdot 12=10

Pozostał już tylko do obliczenia wyznacznik Wy:

Równanie [11] [11]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

W_{y}=\begin{vmatrix} 2 && 13 \\ 3 && 12 \end{vmatrix}=2\cdot 12-13\cdot 3=-15

Obliczanie x-a i y-ka:

Równanie [12] [12]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{matrix}x=\cfrac{W_{x}}{W_{g}}=\cfrac{10}{5}=2 \\ y=\cfrac{W_y}{W_g}=\cfrac{-15}{5}=-3\end{matrix}

Zadanie 2

Rozwiązać układ równań z trzema niewiadomymi:

Równanie [13] [13]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{cases} 3\cdot x-7\cdot y+8\cdot z=1 \\ 17\cdot x+5\cdot y-3\cdot z=2 \\ 5\cdot x-2\cdot y+2\cdot z=0 \end{cases}

Rozwiązanie:

Obliczanie wyznacznika głównego Wg:

Równanie [14] [14]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

W_{g}=\begin{vmatrix} 3 && -7 && 8 \\ 17 && 5 && -3 \\ 5 && -2 && 2\end{vmatrix}=-117

Obliczanie wyznacznika Wx:

Równanie [15] [15]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

W_{x}=\begin{vmatrix} 1 && -7 && 8 \\ 2 && 5 && -3 \\ 0 && -2 && 2\end{vmatrix}=0

Obliczanie wyznacznika Wy:

Równanie [16] [16]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

W_{y}=\begin{vmatrix} 3 && 1 && 8 \\ 17 && 2 && -3 \\ 5 && 0 && 2\end{vmatrix}=-117

Obliczanie wyznacznika Wz:

Równanie [17] [17]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

W_{y}=\begin{vmatrix} 3 && 1 && 8 \\ 17 && 2 && -3 \\ 5 && 0 && 2\end{vmatrix}=-117

Wyznaczanie niewiadomych:

Równanie [18] [18]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

W_{z}=\begin{vmatrix} 3 && -7 && 1 \\ 17 && 5 && 2 \\ 5 && -2 && 0\end{vmatrix}=-117

Komentarze