Wielomiany

Stronę tą wyświetlono już: 597 razy

Wielomianem nazywa się każdą funkcję postaci:

Ogólna postać wielomianów [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f(x)=a_0\cdot x^n+a_1\cdot x^{n-1}+...+a_{n-1}\cdot x^1+a_n\cdot x^0

gdzie:

  • a1, a2,...,an-1,an - parametry liczbowe wielomianu
  • n - stopień wielomianu n∈N

Szczególną postacią wielomianów są funkcje liniowe (wielomiany 1-go stopnia) oraz funkcje kwadratowe (wielomiany 2-go stopnia).

-180-120-60060120180240300-4-20246810f(x) = a0 ·xn + a1 ·xn-1 + ... + an ·x0
Rys. 1
Wykres przykładowego wielomianu postaci f(x)=a0xn+a1xn-1+...+an-1x1+anx0.
Źródło:
Wykres wygenerowany przes skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Podzielność wielomianu

Dany wielomian f(x) jest podzielny przez wielomian g(x), który nie jest równy tożsamościowo 0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian h(x) taki, że f(x)=g(x)h(x).

Z powyższego zapisu wynika, że pierwiastki wielomianów g(x) oraz h(x) są również pierwiastkami wielomianu f(x). Tak więc powyższe twierdzenie może stać się pomocne przy wyznaczaniu pierwiastków wielomianu f(x).<

Przykład

Dane są wielomiany f(x)=x3+3⋅x2+3⋅x+1 oraz g(x)=x+1, takie że wielomian f(x) podzielony przez wielomian g(x) daje w wyniku wielomian h(x) wyznaczone w następujący sposób:

egin{matrix}
 & (x^3 & +3cdot x^2 & +3cdot x & +1) & :left(x+1
ight)=x^2+2cdot x+1  
 & -x^3 & -x^2 &  &  &  
 & = & 2cdot x^2 & +3cdot x &  &  
 &  & -2cdot x^2 & -2cdot x &  &  
 &  & = & x & +1 &  
 &  &  & -x & -1 & 
 &  &  & = & = & 
end{matrix}

Pierwiastki wielomianu g(x):

x_1=-1

Pierwiastek wielomianu h(x), dla którego wyróżnik Δ=0 jest równy:<

x_2=frac{-b}{2cdot a}=-1

Jedynym więc pierwiastkiem wielomianu f(x) jest x=-1.

-60-300306090120150180210-5-4-3-2-1012345f(x) = x3 + 3 · x2 + 3 · x + 1
Rys. 2
Wykres wielomianu f(x)=x3+3⋅x2+3⋅x+1.
Źródło:
Wykres wygenerowany przes skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Dla każdego dzielenia wielomianu f(x) przez wielomian g(x), taki że g(x) nie jest równy tożsamościowo 0, istnieją takie dwa wielomiany h(x), r(x), takie że spełniona jest następna równość: f(x)=g(x)h(x)+r(x), przy czym wielomian r(x) jest równy tożsamościowo 0, gdy f(x) dzieli się bez reszty przez wielomiany g(x), h(x) lub jest wielomianem mniejszego stopnia od wielomianu g(x).

Przykład

Dane są dwa wielomiany f(x)=x3+3⋅x2+3⋅x, g(x)=x+1, takie że wielomian f(x) podzielony przez wielomian g(x) daje w wyniku wielomiany h(x), r(x) wyznaczone w następujący sposób:

begin{matrix} & (x^3 & +3cdot x^2 & +3cdot x & ) & :left(x+1right)=x^2+2cdot x \  & -x^3 & -x^2 &   & \  & = & 2cdot x^2 & +3cdot x  & \  &  & -2cdot x^2 & -2cdot x  & \  &  & = & x  & \  &  & = & x  & -1\  &  & = & =  & -1\ end{matrix}

gdzie:

  • x2+2⋅x+1 - wielomian h(x);
  • -1 - wielomian r(x) (reszta z dzielenia)

Własności wielomianów

Wielomiany stopnia nieparzystego mają co najmniej jedno miejsce zerowe a ich przeciwdziedzina zawiera się w przedziale od -∞ do ∞.

Każdy wielomian może mieć co najwyżej n rzeczywistych rozwiązań, gdzie n jest stopniem danego wielomianu.

Wielomiany stopnia parzystego mają przeciwdziedzinę zawierającą się w przedziale od minimum globalnego do ∞, gdy parametr a0>0, natomiast w przedziale od -∞ do maksimum globalnym gdy parametr a0<0.

Każdy wielomian parzysty postaci xn-a ma dwa rzeczywiste rozwiązania:

x_1=sqrt[n]{a};,x_2=-sqrt[n]{a}

natomiast dla stopnia parzystego tej samej postaci istnieje jedno rozwiązanie:

x_0=sqrt[n]{|a|}

Każdy wielomian, którego wyraz wolny an=0 ma miejsce zerowe w początku układu współrzędnych.

Twierdzenie Bézouta

Liczba r jest pierwiastkiem wielomianu f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian f(x) jest podzielny przez dwumian x-r.

Reszta z dzielenia wielomianu f(x) przez dwumian x-a jest równa f(x=a).

Twierdzenia o pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych

Jeżeli liczba całkowita r0 jest pierwiastkiem wielomianu f(x) o współczynnikach całkowitych, to jest ona dzielnikiem wyrazu wolnego an.

Jeżeli nieskracalny ułamek p/q, gdzie p, q∈C i q0 jest pierwiastkiem wielomianu f(x) o współczynnikach całkowitych, to licznik p jest dzielnikiem wyrazu wolnego an, a mianownik q jest dzielnikiem współczynnika a0.

Twierdzenia o rozkładzie wielomianów

Jeżeli liczby x1, x2,....,xk są pierwiastkami wielomianu f(x) to f(x)=a0⋅(x-x1)⋅(x-x2)⋅...⋅(x-xk), gdzie k jest mniejsze lub równe stopniowi wielomianu f(x).

Każdy wielomian f(x) nie równy tożsamościowo 0 jest iloczynem czynników stopnia co najwyżej drugiego.

Pierwiastek wielokrotny

Liczbę r nazywamy k-krotnym pierwiastkiem wielomianu f(x) stopnia n gdzie k, n∈N i k≤n wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian f(x) jest podzielny przez (x-r)k i nie jest podzielny przez (x-r)k+1.

Liczba r jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu f(x), wtedy i tylko wtedy, gdy f(x)=f'(x)=...=f(k-1)(x) i fk(x)0, gdzie fk(x) jest k-tą pochodną wielomianu f(x).

Metody wyznaczania miejsc zerowych niektórych wielomianów stopnia wyższego niż 2

Wielomiany dające się uprościć do postaci równania kwadratowego

Wielomian f(x)=a⋅x2⋅n+b⋅xn+c=0, gdzie a≠0 można uprościć do postaci równania kwadratowego poprzez zastosowanie zmiennej pomocniczej t=xn, gdzie z kolei t0, gdy n jest liczbą parzystą.

W takim przypadku rozwiązuje się równanie kwadratowe f(t)=a⋅t2+b⋅t+c w sposób opisany już w wcześniejszym rozdziale.

Wielomian zwrotny czwartego stopnia

Wielomian postaci f(x)=a⋅x4+b⋅x3+b⋅x2+b⋅x+1 można rozwiązać poprzez wstępne podzielenie wielomianu f(x) przez x2 otrzymując następującą postać wielomianu f(x):

acdot left(x^2+frac{1}{x^2}
ight)+bcdotleft(x+frac{1}{x}
ight)+c=0

a następnie podstawiając następującą zmienną pomocniczą:

t=x+frac{1}{x}

otrzymując w ten jakże przebiegły sposób zwyczajne równanie kwadratowe f(t)=a⋅t2+b⋅t+c.

Równanie algebraiczne stopnia n

Jeżeli wielomian f(x)=a0xn+a1xn-1+...+an-1x1+anx0 rozkłada się na czynniki an⋅ (x-x1)⋅(x-x2)⋅...⋅(x-xn-1)⋅(x-xn), gdzie a00, to równanie f(x)=0 jest równoważne alternatywie równań: x-x1=0x-x2=0 ∨ ... ∨ x-xn-1=0x-xn=0

Komentarze