Pojęcie prędkości średniej

Stronę tą wyświetlono już: 476 razy

Prędkość średnia Vśr dla danego punktu A poruszającego się po trajektorii r(t) i przemierzającego drogę po funkcji s(t) jest to taka prędkość wyznaczona dla danego przedziału czasu Δt, która spełnia następującą równość:

Równanie [1] [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V_{sr}=\frac{\Delta s(t)}{\Delta t}

Prędkość średnia Vśr jest wielkością skalarną prędkości związanej z ruchem punktu A po trajektorii ruchu r(t). Również funkcja s(t) jest tutaj wielkością skalarną.

Wróćmy do zadania 1 z strony Fizyka → Kinematyka → Równanie drogi w zlażności od czasu s(t), dla której wyznaczona została funkcja drogi w zależności od czasu s(t). W zadaniu tym wyznaczone zostały wzory [6], [7] oraz [8]. Zakładając, że rozpatrywany przedział czasu Δ t zaczyna się w chwili t0=0 [s], funkcja prędkości średniej będzie przyjmować następujące wartości:

Dla Vśr(t<1):

Równanie [2] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V_{sr}(t\leq 1)=\cfrac{4\cdot R\cdot\sin\left(\cfrac{\pi\cdot t^2}{2}\right)}{t}

Dla t mieszczącego się w przedziale sqrt{4*k-2}<=t<=sqrt{4*k-1}, gdzie k in bbN backslash delim{lbrace} {0}{rbrace} wzór na prędkość średnią Vśr(t) przyjmuje postać następującą:

Równanie [3] [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V_{sr}\left(\sqrt{4\cdot k-2}\leq t\leq \sqrt{4\cdot k-1}\right)=\frac{4\cdot R\cdot \left[ 4\cdot k-2-\sin \left( \cfrac{\pi\cdot t^2}{2}\right)\right]}{t}

Dla t mieszczącego się w przedziale sqrt{4*k-5}<=t<=sqrt{4*k-3}, gdzie k in bbN backslash delim{lbrace} {0; 1}{rbrace} wzór na prędkość średnią Vśr(t) przyjmuje postać następującą:

Równanie [4] [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V_{sr}(\sqrt{4\cdot k-5}\leq t\leq \sqrt{4\cdot k-3})=\frac{4\cdot R\cdot \left[4\cdot k-4-\sin\left(\cfrac{\pi\cdot t^2}{2}\right)\right]}{t}

Na rysunku 1 widoczny jest wykres funkcji s(t) oraz Vśr(t), gdzie widać, że funkcja s(t) ma tendencję stale rosnącą, czego z kolei nie można powiedzieć o funkcji Vśr(t).

wykres drogi po czasie i funkcji prędkości średniej punktu poruszającego się po zakrzywionej trajektorii ruchu
Rys. 1
Wykres funkcji s(t) oraz Vśr(t) dla R=1 i t<=3

Wykres wygenerowany do pliku svg w programie wxMaxima, za pomocą następującego kodu:

Listing 1
  1. r:1;
  2. s(t):=4*r*sin(%pi*t^2/2);
  3. v(t):=if t <= 1 then s(t) else if t <= sqrt(3) then 8*r-s(t) else if t <= sqrt(5) then 4*4*r+s(t) else if t <= sqrt(7) then 6*4*r-s(t) else if t <= sqrt(9) then 8*4*r+s(t);
  4. g(t):=if t <= 1 then s(t) / t else if t <= sqrt(3) then (8*r-s(t))/t else if t <= sqrt(5) then (4*4*r+s(t))/t else if t <= sqrt(7) then (6*4*r-s(t))/t else if t <= sqrt(9) then (8*4*r+s(t))/t;
  5. plot2d([v(t),g(t)],[t,0.01,sqrt(9)],[legend,"s(t) [m]","Vsr(t) [m/s]"],[gnuplot_term, "svg size 500,400"], [gnuplot_out_file, "C:\Predkosc_srednia.svg"]);

Komentarze