Obliczanie środków ciężkości figur płaskich

Stronę tą wyświetlono już: 832 razy

Skoro już omówione zostało, jak obliczać pola powierzchni figur płaskich, to teraz można zabrać się za wyznaczanie ich środków ciężkości. Oczywiście jest pewne ograniczenie, takie że dana figura płaska nie jest samo przecinająca się. Jeżeli ten warunek jest spełniony to można takiej figurze obliczyć położenie środka ciężkości za pomocą następujących wzorów:

Równanie [1] [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x_{c}=\frac{\left[\sum_{i=2}^{i=n-1}{\left(\vec{P}_i-\vec{P}_1\right)\times\left(\vec{P}_{i+1}-\vec{P}_1\right)}\cdot\left(P_{1\rightarrow x}+P_{i\rightarrow x}+P_{i+1\rightarrow x\right)}\right]\rightarrow z}{3\cdot\left[\sum_{i=2}^{i=n-1}{\left(\vec{P}_i-\vec{P}_1\right)\times\left(\vec{P}_{i+1}-\vec{P}_1\right)}\right]\rightarrow z}

Równanie [2] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

y_{c}=\frac{\left[\sum_{i=2}^{i=n-1}{\left(\vec{P}_i-\vec{P}_1\right)\timesleft(\vec{P}_{i+1}-\vec{P}_1\right)}\cdot\left(P_{1\rightarrow y}+P_{i\rightarrow y}+P_{i+1\rightarrow y\right)}\right]\rightarrow z}{3\cdot\left[\sum_{i=2}^{i=n-1}{\left(\vec{P}_i-\vec{P}_1\right)\times\left(\vec{P}_{i+1}-\vec{P}_1\right)}\right]\rightarrow z}

Uwaga!!! Wyrażenie w nawiasach kwadratowych z licznika i mianownika jest wektorem, którego składową z należy wyciągnąć stąd oznaczenie []->z. Jest to konieczne z takiego względu, że podczas testów tego wzoru czasami program obliczał środek ciężkości z niewłaściwym znakiem.

Wzory [1] i [2] mogą zostać zapisane z wykorzystaniem wyznaczników dwóch wektorów 2W w sposób następujący:

Równanie [3] [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x_{c}=\frac{\sum_{i=2}^{i=n-1}{\Det\left(\vec{P}_i-\vec{P}_1,\,vec{P}_{i+1}-\vec{P}_1\right)}\cdot\left(P_{1\rightarrow x}+P_{i\rightarrow x}+P_{i+1\rightarrow x\right)}}{3\cdot\sum_{i=2}^{i=n-1}{\Det\left(\vec{P}_i-\vec{P}_1,\,\vec{P}_{i+1}-\vec{P}_1\right)}}

Równanie [4] [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

y_{c}=\frac{\sum_{i=2}^{i=n-1}{\Det\left(\vec{P}_i-\vec{P}_1,\,\vec{P}_{i+1}-\vec{P}_1\right)}\cdot\left(P_{1\rightarrow y}+P_{i\rightarrow y}+P_{i+1\rightarrow y\right)}}{3\cdot\sum_{i=2}^{i=n-1}{\Det\left(\vec{P}_i-\vec{P}_1,\,\vec{P}_{i+1}-\vec{P}_1\right)}}

Skoro znane są już wzorki, to sprawdźmy, czy są one poprawne i obliczmy dla figury z rysunku 1 współrzędne środków ciężkości xc i yc.

Rysunek figury, dla której obliczony zostanie środek ciężkości.
Rys. 1
Rysunek figury, dla której obliczony zostanie środek ciężkości.

Poniżej w tabeli zrobiłem małe zestawienie obliczeń, za pomocą którego wyliczyłem środek ciężkości figury z rysunku 1.

xyx-x1y-y1zSkładowe dla licznika xoSkładowe dla licznika yo
P1=3400
P2=1341000
P3=13610220193,333333333393,3333333333
P4=9662866,666666666742,6666666667
P5=9126836252264
P6=1312108-32-266,6666666667-298,6666666667
P7=1314101020193,3333333333200
P8=314010100633,33333333331066,6666666667
P9=31208000
P10=71248-32-138,6666666667-298,6666666667
P11=7642-24-136-176
P12=3602834,666666666742,6666666667
Suma razy 1/2 (Ppow)=52
Licznik xoLicznik yo
416468
xoyo
89

Ponieważ figura płaska leży w płaszczyźnie XY przeto wiadomo, że tylko składowa z wektorów otrzymanych z iloczynu wektorowego będzie miała wartość różną od zera i dlatego też liczone były tylko i wyłącznie składowe z tegoż wektora w powyższej tabelce.

Uwaga!!! W powyższej tabelce elementy cząstkowe licznika zostały przemnożone przez 1 / 3 wyciągniętą z mianownika wzorów [1] i [2].

Jeżeli chodzi o obliczanie środków ciężkości figur płaskich, które się przecinają same z sobą, to można je policzyć, ale konieczny jest podział takiej figury na części mniejsze jak to zostało pokazane na rysunku 2.

Ilustracja przykładowej figury samoprzecinającej się: <b>a)</b> przed podziałem na mniejsze figury; <b>b)</b> po podziale na mniejsze figury.
Rys. 2
Ilustracja przykładowej figury samoprzecinającej się: a) przed podziałem na mniejsze figury; b) po podziale na mniejsze figury.

Załączniki:

Program obliczający środek ciężkości i pole powierzchni nie przecinającej się figury płaskiej

Komentarze