Funkcje wymierne

Stronę tą wyświetlono już: 592 razy

Funkcją wymierną f(x) nazywamy funkcję postaci:

Równanie [1] [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}

gdzie:

  • g(x), h(x) - są wielomianami i h(x) nie jest równe tożsamościowo 0.

Dziedziną funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wielomian h(x)0.

Ułamki proste

Ułamkami prostymi funkcji wymiernej nazywa się funkcje postaci:

Równanie [2] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f(x)=\frac{A}{\left(x-a\right)^k}

lub

Równanie [3] [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f(x)=\frac{B\cdot x+C}{\left(x^2-p\cdot x+q\right)^m}

gdzie: A, B, C, a, p, q∈R; k, m∈N

Każda funkcja wymierna może zostać przedstawiona jako suma wielomianu i pewnej liczby ułamków prostych.

Funkcje homograficzne

Funkcja wymiarna postaci:

Równanie [4] [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f(x)=\frac{a\cdot x+b}{c\cdot x+d}

dla parametrów a, b, c, d spełniających następujące warunki: adbc i c0 jest funkcją homograficzną, której wykresem jest hiperbola.<

yyx-20-16-12-8-4048121620-4-3.2-2.4-1.6-0.800.81.62.43.24-b/ay=a/cx=-d/cf(x) = (a·x+b)/(c·x+d)
Rys. 2
Wykres funkcji homograficznej dla parametrów c0 oraz ad-bc>0.
Źródło:
Wykres wygenerowany przes skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W
yyx-20-16-12-8-4048121620-1.8-1.2-0.600.61.21.82.433.6-b/ay=a/cx=-d/cf(x) = (a·x+b)/(c·x+d)
Rys. 2
Wykres funkcji homograficznej dla parametrów c0 oraz ad-bc<0.
Źródło:
Wykres wygenerowany przes skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Funkcje homogeniczne posiadają dwie asymptoty: poziomą, daną równaniem:

Równanie [5] [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

y=\frac{a}{c}

i pionową daną równaniem:

Równanie [6] [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x=-\frac{d}{c}

Dziedzina funkcji homogenicznej należy do zboru liczb:

R/ left{frac{-d}{c}right}

Przeciwdziedzina funkcji homogenicznej należy do zbioru liczb:

R/ left{frac{a}{c}right}

Miejsca zerowe funkcji wymiernych

Funkcja wymierna posiada miejsca zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian g(x)=0h(x)0.

Komentarze