Obliczanie całek wielomianów i funkcji wymiernych

Stronę tą wyświetlono już: 444 razy

Zadanie 1 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=x^2+2cdot x+3

Rozwiązanie:

intleft(x^2+2cdot x+3
ight),dx=int x^2,dx+int 2cdot x,dx+3cdotint ,dx=frac{1}{2}cdot x^3+x^2+3cdot x+c

Zadanie 2 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=left(2cdot x+3
ight)^4

Rozwiązanie:

intleft(2cdot x+3
ight)^4,dxegin{vmatrix}
t=2cdot x+3
dt=2,dxRightarrow dx=frac{dt}{2}
end{vmatrix}=int t^4,dx=frac{1}{5}cdot t^5=frac{1}{5}cdotleft(2cdot x+3
ight)+c

Zadanie 3 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=xcdot (2cdot x+1)^5

Rozwiązanie:

int xcdot (2cdot x+1)^5,dx=frac{1}{2}cdotint (2cdot x+1-1)cdot(2cdot x+1)^5,dxegin{vmatrix}
t=2cdot x+1
dt=2,dxRightarrow dx=frac{dt}{2}
end{vmatrix}=frac{1}{2}cdotint(t-1)cdot t^5,frac{dt}{2}=frac{1}{4}cdotint t^6,dt-frac{1}{4}cdotint t^5,dt=frac{1}{28}cdot t^7-frac{1}{24}cdot t^6=frac{1}{28}cdotleft(2cdot x+1
ight)^7-frac{1}{24}cdot left(2cdot x+1
ight)^6+c

Zadanie 4 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=frac{1}{2cdot x+1}

Rozwiązanie:

intfrac{1}{2cdot x+1},dxegin{vmatrix}
t=2cdot x+1
dt=2,dxRightarrow dx=frac{dt}{2}
end{vmatrix}=intfrac{1}{t}cdotfrac{dt}{2}=frac{1}{2}cdot ln|t|=frac{1}{2}cdot lnleft|2cdot x+1
ight|+c

Zadanie 5 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=frac{1}{(2cdot x+1)^4}

Rozwiązanie:

intfrac{1}{(2cdot x+1)^4},dxegin{vmatrix}
t=2cdot x+1
dt=2,dxRightarrow dx=frac{dt}{2}
end{vmatrix}=intfrac{1}{t^4}cdotfrac{dt}{2}=-frac{1}{6}cdot frac{1}{t^3}=-frac{1}{6cdot left(2cdot x+1
ight)^3}+c

Zadanie 6 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=frac{4cdot x+2}{x^2+x+1}

Rozwiązanie:

intfrac{4cdot x+2}{x^2+x+1},dxegin{vmatrix}
t=x^2+x+1
dt=left(2cdot x+1
ight) dxRightarrow dx=frac{dt}{2cdot x+1}
end{vmatrix}=intfrac{4cdot x+2}{t}cdotfrac{dt}{2cdot x+1}=intfrac{dt}{t}=ln|t|=lnleft|x^2+x+1
ight|+c

Zadanie 7 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=frac{1}{x^2+2cdot x}

Rozwiązanie:

intfrac{1}{x^2+2cdot x},dx=intfrac{1}{xcdotleft(x+2
ight)},dx=intfrac{A}{x},dx+intfrac{B}{x+2},dx

Należy wyznaczyć wartości parametrów A, B dla których spełniona jest równość:

Acdot x+2cdot A+Bcdot x=1

W oparciu o powyższą równość można zapisać następujący układ równań:

egin{cases}
2cdot A=1   
Acdot x+Bcdot x=0  
end{cases}Rightarrow egin{cases}
A=frac{1}{2}   
B=-frac{1}{2}  
end{cases}

Podstawiając wyliczone wartości można ukończyć obliczenia całki:

intfrac{1}{x^2+2cdot x},dx=frac{1}{2}cdotintfrac{1}{x},dx-frac{1}{2}cdotintfrac{1}{x+2},dx=frac{1}{2}cdotln|x|-frac{1}{2}cdotln|x+2|+c=frac{1}{2}cdotlnleft|frac{x}{x+2}
ight|+c

Zadanie 8 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=frac{2cdot x+1}{x^2+2cdot x}

Rozwiązanie:

intfrac{2cdot x+1}{x^2+x},dx=intfrac{2cdot x+1}{xcdotleft(x+2
ight)},dx=intfrac{A}{x},dx+intfrac{B}{x+2},dx

Należy wyznaczyć wartości parametrów A, B dla których spełniona jest równość:

Acdot x+2cdot A+Bcdot x=2cdot x+1

W oparciu o powyższą równość można zapisać następujący układ równań:

egin{cases}
2cdot A=1   
Acdot x+Bcdot x=2cdot x 
end{cases}Rightarrow egin{cases}
A=frac{1}{2}   
B=1frac{1}{2}

Podstawiając wyliczone wartości można ukończyć obliczenia całki:

intfrac{2cdot x+1}{x^2+2cdot x},dx=frac{1}{2}cdotintfrac{1}{x},dx+1frac{1}{2}cdotintfrac{1}{x+2},dx=frac{1}{2}cdotln|x|+frac{1}{2}cdotlnleft|left(x+2
ight)^3
ight|+c=frac{1}{2}cdotlnleft|xcdot(x+2)^3
ight|+c

Zadanie 9 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=frac{1}{x^2+6cdot x+8}

Rozwiązanie:

Sprawdzić należy, czy funkcję kwadratową w mianowniku można zapisać w postaci iloczynowej:

Delta =6^2-4cdot 1cdot 8=4

Δ>0 więc funkcję kwadratową z mianownika można zapisać w postaci iloczynowej według wzoru [17] zapisanego w dziale Matematyka: Funkcje: Funkcje kwadratowe. Wyliczyć należ pierwiastki rozpatrywanej funkcji kwadratowej:

x_1=frac{-b-sqrt{Delta}}{2cdot a}=frac{-6-2}{2cdot 1}=-4

x_2=frac{-b+sqrt{Delta}}{2cdot a}=frac{-6+2}{2cdot 1}=-2

Podstawiając do wzoru [17] zapisanego w dziale Matematyka: Funkcje: Funkcje kwadratowe za x1, x2 wyliczone wartości otrzymuje się następującą postać iloczynową funkcji kwadratowej:

g(x)=left(x-x_1
ight)cdotleft(x-x_2left)=left(x+4
ight)cdotleft(x+2
ight)

Teraz można przystąpić do obliczeń całki z zadanej funkcji:

intfrac{1}{x^2+6cdot x+8},dx=intfrac{1}{left(x+4
ight)cdotleft(x+2
ight)},dx=intfrac{A}{x+4},dx+intfrac{B}{x+2},dx

Parametry A, B muszą spełniać następującą równość:

Acdot x+Acdot 2+Bcdot x+Bcdot 4=1

Na podstawie powyższego równania można zapisać następujący układ równań, z którego wyznaczyć należy wartości parametrów A, B:

egin{cases}
Acdot x+Bcdot x=0   
Acdot 2 +Bcdot 4=1 
end{cases}Rightarrowegin{cases}
A=-frac{1}{2}   
B=frac{1}{2} 
end{cases}

Za A, B podstawić należy do wcześniej rozpisanego równania całki:

intfrac{1}{x^2+6cdot x+8},dx=-frac{1}{2}cdotintfrac{1}{x+4},dx+frac{1}{2}cdotintfrac{1}{x+2},dx=-frac{1}{2}cdot lnleft|x+4
ight|+frac{1}{2}cdotln|x+2|+c=frac{1}{2}cdotlnleft|frac{x+2}{x+4}
ight|+c

Zadanie 10 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=frac{1}{x^2+4cdot x+4}

Rozwiązanie:

W tym przypadku wystarczy posłużyć się wzorem skróconego mnożenia:

intfrac{1}{x^2+4cdot x+4},dx=intfrac{1}{left(x+2
ight)^2},dxegin{vmatrix}
t=x+2
dt=dx
end{vmatrix}=intfrac{1}{t^2},dt=-frac{1}{t}=-frac{1}{x+2}+c

Zadanie 11 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=frac{1}{x^2-4cdot x+3}

Rozwiązanie:

intfrac{1}{x^2-4cdot x+3},dx=intfrac{1}{x^2-4cdot x+4-1},dx=intfrac{1}{left(x-2
ight)^2-1},dxegin{vmatrix}
t=x-2
dt=dx
end{vmatrix}=intfrac{1}{t^2-1},dt=intfrac{1}{left(t-1
ight)cdotleft(t+1
ight)},dt=intfrac{A}{t-1},dt+intfrac{B}{t+1},dt

Parametry A, B muszą spełniać równość:

Acdot t+A+Bcdot t-B=1

z której można a nawet trzeba ułożyć układ dwóch równań:

egin{cases}
Acdot t+Bcdot t=0   
A-B=1 
end{cases}Rightarrowegin{cases}
A=frac{1}{2}   
B=-frac{1}{2}
 
end{cases}

Podstawienie i wyliczenie:

intfrac{1}{x^2-4cdot x+3},dx=intfrac{A}{t-1},dt+intfrac{B}{t+1},dt=frac{1}{2}cdotintfrac{1}{t-1},dt-frac{1}{2}cdot intfrac{1}{1+t},dt=frac{1}{2}cdotln|t-1|-frac{1}{2}cdotln|t+1|=frac{1}{2}cdotlnleft|frac{t-1}{t+1}
ight|=frac{1}{2}cdotlnleft|frac{x-3}{x-1}
ight|+c

Zadanie 12 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=frac{1}{xcdotleft(x+1
ight)^2}

Rozwiązanie:

intfrac{1}{xcdotleft(x+1
ight)^2}dx=intfrac{A}{x},dx+intfrac{B}{x+1},dx+intfrac{C}{(x+1)^2},dx

Parametry A, B, C muszą spełniać następującą równość:

Acdot x^2+2cdot Acdot x+A+Bcdot x^2+Bcdot x+Ccdot x=1

Układ równań:

egin{cases}
A=1   
2cdot Acdot x+Bcdot x+Ccdot x=0   
Acdot x^2+Bcdot x^2=0
end{cases}Rightarrowegin{cases}
A=1   
B=-1   
C=-1
end{cases}

Podstawienie i obliczenie:

intfrac{dx}{xcdot(1+x)^2},dx=intfrac{dx}{x}-intfrac{dx}{1+x}-intfrac{dx}{(1+x)^2}=ln|x|-ln|x+1|-intfrac{dx}{(1+x)^2}egin{vmatrix}
t=1+x
dt=dx
end{vmatrix}=ln|x|-ln|x+1|-intfrac{dt}{t^2}=lnleft|frac{x}{x+1}
ight|+frac{1}{t}=lnleft|frac{x}{x+1}
ight|+frac{1}{x+1}+c

Zadanie 13 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=frac{1}{xcdotleft(x^2+1
ight)}

Rozwiązanie:

intfrac{1}{xcdotleft(x^2+1
ight)},dx=intfrac{A,dx}{x}+intfrac{Bcdot x+C}{x^2+1},dx

Parametry A, B, C muszą spełniać następującą równość:

Acdot x^2+A+Bcdot x^2+Ccdot x=1

Układ równań:

egin{cases}
A=1   
C=0   
A+B=0Rightarrow B=-1
end{cases}

Podstawienie i obliczenie:

intfrac{dx}{xcdot(1+x)^2},dx=intfrac{dx}{x}-intfrac{x}{x^2+1},dx=ln|x|-frac{1}{2}cdotintfrac{2cdot x}{x^2+1},dx=ln|x|-frac{1}{2}cdotleft|x^2+1
ight|+c

Zadanie 14 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=frac{x^4+3cdot x^3+5cdot x^2+4cdot x+2}{x^4+3cdot x^2+2}

Rozwiązanie:

intfrac{x^4+3cdot x^3+5cdot x^2+4cdot x+2}{x^4+3cdot x^2+2},dx=intfrac{x^3+3cdot x^2+2+2cdot x^3+2cdot x^2+4cdot x}{x^4+3cdot x^2+2},dx=int,dx+intfrac{2cdot x^3+2cdot x^2+4cdot x}{x^4+3cdot x^2+2},dx

Dla wielomianu 4-tego stopnia zawartego w mianowniku ułamka funkcji podcałkowej znaleźć należy zapis iloczynowy tego wielomianu stosując parametr zastępczy U=x2 i upraszczając tym samym wielomian do postaci funkcji kwadratowej.

x^4+3cdot x^2+2=u^2+3cdot u+2

Wyliczenie wyznacznika Δ:

Delta=9-8=1

Wyznaczenie pierwiastków:

u_1=frac{-b-sqrt{Delta}}{2cdot a}=frac{-3-1}{2}=-2

u_2=frac{-b+sqrt{Delta}}{2cdot a}=frac{-3+1}{2}=-1

Zapis funkcji mianownika:

x^4+3cdot x^2+2=(u-u_1)cdot(u-u_2)=left(x^2-u_1
ight)cdotleft(x^2-u_2
ight)=left(x^2+2
ight)cdotleft(x^2+1
ight)

Podstawienie i rozpisanie na ułamki proste:

x+intfrac{2cdot x^3+2cdot x^2+4cdot x}{left(x^2+2
ight)cdot left(x^2+1
ight)},dx=x+intfrac{Acdot x+B}{x^2+2},dx+intfrac{Ccdot x+D}{x^2+1},dx

Parametry A, B, C, D muszą spełniać następującą równość:

Acdot x^3+Acdot x+Bcdot x^2+B+Ccdot x^3+2cdot Ccdot x+Dcdot x^2+2cdot D=2cdot x^3+2cdot x^2+4cdot x

z której to można zapisać cztery następujące układy równań:

egin{cases}
Acdot x^3+Ccdot x^3=2cdot x^3   
Acdot x+2cdot Ccdot x=4cdot x  
Bcdot x^2+Dcdot x^2=2cdot x^2  
B+2cdot D=0
end{cases}Rightarrow egin{cases}
A=0  
B=4  
C=2  
D=-2
end{cases}

Podstawienie i wyliczenie:

x+intfrac{4}{x^2+2},dx+intfrac{2cdot x-2}{x^2+1},dx=x+intfrac{4cdotfrac{1}{2}}{left(x^2+2
ight)cdotfrac{1}{2}},dx+intfrac{2cdot x}{x^2+1},dx-2cdotintfrac{dx}{x^2+1}=x+lnleft|x^2+1
ight|-2cdotarctan x+2cdotintfrac{dx}{left(frac{x}{sqrt{2}}
ight)^2+1}egin{vmatrix}
t=cfrac{x}{sqrt{2}}
dx=sqrt{2},dt
end{vmatrix}=x+lnleft|x^2+1
ight|-2cdotarctan x+2cdotsqrt{2}cdotintfrac{dt}{t^2+1}=x+lnleft|x^2+1
ight|-2cdot	arctan x+2cdotsqrt{2}cdotarctan t=x+lnleft|x^2+1
ight|-2cdotarctan x+2cdotsqrt{2}cdotarctanfrac{x}{sqrt{2}}+c

Komentarze