Obliczanie całek funkcji niewymiernych

Stronę tą wyświetlono już: 2887 razy

Zadanie 1 Obliczyć całkę z funkcji:

Rozwiązanie:

Zadanie 2 Obliczyć całkę z funkcji:

Rozwiązanie:

Zadanie 3 Obliczyć całkę z funkcji:

Rozwiązanie:

Zadanie 4 Obliczyć całkę z funkcji:

Rozwiązanie:

W tym przypadku pochodna wyrażenia podpierwiastkowego jest równa wartości mianownika, więc aż się prosi aby użyć podstawienia t=x2+x+1.

Zadanie 5 Obliczyć całkę z funkcji:

Rozwiązanie:

Ten przypadek jest podobny do przypadku z zadania 4, jednakże zastosować warto tutaj podstawienie typu t2=x2+x+1.

Zadanie 6 Obliczyć całkę z funkcji:

Rozwiązanie:

Zadanie 7 Obliczyć całkę z funkcji:

Rozwiązanie:

Parametry A, B muszą spełniać równość:

z której można ułożyć układ dwóch równań:

Podstawienie i obliczenie:

Zadanie 8 Obliczyć całkę z funkcji:

Rozwiązanie:

Zadanie 9 Obliczyć całkę z funkcji:

Rozwiązanie:

Zadanie 10 Obliczyć całkę z funckji:

Rozwiązanie:

Zadanie 11 Obliczyć całkę z funckji:

Rozwiązanie:

Zadanie 12 Obliczyć całkę z funckji:

Rozwiązanie:

Zadanie 13 Obliczyć całkę z funckji:

Rozwiązanie:

Zadanie 14 Obliczyć całkę z funckji:

Rozwiązanie:

Obliczenie całki I1:

Całka I2 wyliczona została już w zadaniu 13:

Równanie sumy całek I1, I2:

Zadanie 15 Obliczyć całkę z funckji:

Rozwiązanie:

Tym razem rozwiązanie przez podstawienie gdy współczynnik a funkcji podpierwiastkowej jest większy od zera:

Zadanie 16 Obliczyć całkę z funkcji:

Rozwiązanie:

W tym przypadku funkcji podpierwiastkowej nie można zastosować podstawienia z zadania 15 ponieważ parametr a jest mniejszy od zera, jednakże ponieważ współczynnik c owej funkcji jest większy od zera więc można zastosować następujące podstawienie i rozwiązanie:

Zadanie 17 Obliczyć całkę z funkcji:

Rozwiązanie:

W tym przypadku funkcję podpierwiastkową można by było rozpisać jak w zadaniu 12 lecz nie da się jej rozwiązać metodami z zadań 15 czy 16. Jednakże jeżeli tylko wyróżnik Δ funkcji podpierwiastkowej jest większy lub równy zero możliwe jest zastosowanie pewnego podstawienia, lecz najpierw sprawdzić należy wartość wyróżnika Δ:

Funkcję podpierwiastkową sprowadzić trzeba do postaci iloczynowej wyznaczając w tym celu pierwiastki owej funkcji:

Panie i panowie oto postać iloczynowa funkcji podpierwiastkowej:

Przyjąć należy następującą równość z parametrem t:

Powyższą równość spotęgować należy i przekształcić w następujący sposób:

Pochodna wyżej wyprowadzonej zależności:

Rozpisać należy podstawienie dla pierwiastka z funkcji kwadratowej z mianownika całkowanej funkcji:

Podstawienie i rozwiązanie:

Komentarze

Administrator

Data: 16-04-2019 05:39:09

@stan - masz rację, już poprawiłem

stan

Data: 15-04-2019 17:43:58

Rozwiązanie zadanie nr 9 jest błędne, powinno być: pierwiastek 4. stopnia z x^3, a nie 3. stopnia z x^4. Pozdrawiam S.L.