Obliczanie całek funkcji niewymiernych

Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 9590 razy

Zadanie 1 Obliczyć całkę z funkcji:

[1]

Rozwiązanie:

[2]

Zadanie 2 Obliczyć całkę z funkcji:

[3]

Rozwiązanie:

[4]

Zadanie 3 Obliczyć całkę z funkcji:

[5]

Rozwiązanie:

[6]

Zadanie 4 Obliczyć całkę z funkcji:

[7]

Rozwiązanie:

W tym przypadku pochodna wyrażenia podpierwiastkowego jest równa wartości mianownika, więc aż się prosi aby użyć podstawienia t=x²+x+1.

[8]

Zadanie 5 Obliczyć całkę z funkcji:

[9]

Rozwiązanie:

Ten przypadek jest podobny do przypadku z zadania 4, jednakże zastosować warto tutaj podstawienie typu t²=x²+x+1.

[10]

Zadanie 6 Obliczyć całkę z funkcji:

[11]

Rozwiązanie:

[12]

Zadanie 7 Obliczyć całkę z funkcji:

[13]

Rozwiązanie:

[14]

Parametry A, B muszą spełniać równość:

[15]

z której można ułożyć układ dwóch równań:

[16]

Podstawienie i obliczenie:

[17]

Zadanie 8 Obliczyć całkę z funkcji:

[18]

Rozwiązanie:

[19]

Zadanie 9 Obliczyć całkę z funkcji:

[20]

Rozwiązanie:

[21]

Zadanie 10 Obliczyć całkę z funckji:

[22]

Rozwiązanie:

[23]

Zadanie 11 Obliczyć całkę z funckji:

[24]

Rozwiązanie:

[25]

Zadanie 12 Obliczyć całkę z funckji:

[26]

Rozwiązanie:

[27]

Zadanie 13 Obliczyć całkę z funckji:

[28]

Rozwiązanie:

[29]

Zadanie 14 Obliczyć całkę z funckji:

[30]

Rozwiązanie:

[31]

Obliczenie całki I₁:

[32]

Całka I₂ wyliczona została już w zadaniu 13:

[33]

Równanie sumy całek I₁, I₂:

[34]

Zadanie 15 Obliczyć całkę z funckji:

[35]

Rozwiązanie:

Tym razem rozwiązanie przez podstawienie gdy współczynnik a funkcji podpierwiastkowej jest większy od zera:

[36]

Zadanie 16 Obliczyć całkę z funkcji:

[37]

Rozwiązanie:

W tym przypadku funkcji podpierwiastkowej nie można zastosować podstawienia z zadania 15 ponieważ parametr a jest mniejszy od zera, jednakże ponieważ współczynnik c owej funkcji jest większy od zera więc można zastosować następujące podstawienie i rozwiązanie:

[38]

Zadanie 17 Obliczyć całkę z funkcji:

[37]

Rozwiązanie:

W tym przypadku funkcję podpierwiastkową można by było rozpisać jak w zadaniu 12 lecz nie da się jej rozwiązać metodami z zadań 15 czy 16. Jednakże jeżeli tylko wyróżnik Δ funkcji podpierwiastkowej jest większy lub równy zero możliwe jest zastosowanie pewnego podstawienia, lecz najpierw sprawdzić należy wartość wyróżnika Δ: