Obliczanie pola powierzchni

Stronę tą wyświetlono już: 630 razy

Zadanie 1 Wyznaczyć wzór na pole powierzchni trójkąta prostokątnego opisanego funkcją:

f(x)=acdot x

w przedziale od 0 do b.

Rozwiązanie:

int_0^b acdot x,dx=acdotfrac{1}{2}cdot left[x^2
ight]_0^b=frac{acdot b^2}{2}

Parametr a funkcji jest równy tan α, gdzie α to wartość kąta zawartego pomiędzy osią x a wykresem funkcji f(x). Z kolei b jest długością boku trójkąta prostokątnego. W ten oto prosty sposób wyprowadzony został wzór na pole powierzchni trójkąta prostokątnego w zależności od danych tan α=a, b.

Zadanie 2 Wyprowadzić wzór na pole powierzchni trójkąta prostokątnego, którego długości boków przyprostokątnych b, h są dane.

Rozwiązanie:

Pole powierzchni trójkąta jest równe sumie elementarnych pól powierzchni dF, których szerokość by jest uzależniona od położenia y danego przekroju elementarnego oraz długości b, h opisujących wymiary danego trójkąta. Zależność wymiaru by od wspomnianych już wcześniej parametrów jest więc następująca:

frac{b}{h}=frac{by}{h-y}Rightarrow by=frac{bcdotleft(h-y
ight)}{h}

Elementarne pole powierzchni dF jest równe:

dF=bycdot dy=frac{bcdotleft(h-y
ight)}{h},dy

Ostatecznie więc wzór na pole powierzchni danego trójkąta:

int_0^h dF=int_0^hfrac{bcdotleft(h-y
ight)}{h},dy=bcdot int_0^h,dy-frac{b}{h}cdotint_0^hy,dy=bcdot[y]_0^h-frac{b}{h}cdotfrac{1}{2}cdotleft[y^2
ight]_0^h=bcdot h-frac{bcdot h}{2}=frac{bcdot h}{2}

Dla lepszego zrozumienia warto zerknąć łaskawym okiem na rysunek 1, gdzie wszystkie dane zostały rozpisane graficznie. Wyprowadzony wzór jest również prawdziwy dla wszystkich trójkątów, pod warunkiem że h jest wysokością danego trójkąta spuszczoną prostopadle na bok b z przeciwległego wierzchołka.

Rysunek pomocniczy do zadania 2
Rys. 1
Rysunek pomocniczy.

Zadanie 3 Obliczyć pole powierzchni trapezu zawartego pomiędzy funkcjami:

f(x)=-frac{1}{2}cdot x+1

g(x)=x+4

w przedziale od 0 do 2.

Rozwiązanie:

Należy zacząć od nakreślenia funkcji f(x), g(x) w zadanym przedziale wartości.

Wykres funkcji <b>f(x)</b>, <b>g(x)</b> w przedziale od <b>0</b> do <b>2</b>.
Rys. 2
Wykres funkcji f(x), g(x) w przedziale od 0 do 2.

Jak widać na załączonym rysunku 2 pole powierzchni trapezu zawartego między funkcjami f(x), g(x) jest równe różnicy całek oznaczonych z tychże funkcji w przedziale od 0 do 2:

int_0^2left(x+4
ight),dx-int_0^2left(-frac{1}{2}cdot x+1
ight),dx=int_0^2x,dx+4cdotint_0^2,dx+frac{1}{2}cdotint_0^2x,dx-int_0^2,dx=frac{1}{2}cdotleft[x^2
ight]_0^2+4cdot[x]_0^2+frac{1}{2}cdotfrac{1}{2}cdotleft[x^2
ight]_0^2-[x]_0^2=2+8+1-2=9left[j^2
ight]

Zadanie 4 Wyprowadzić wzór na pole powierzchni trapezu o danych długościach boków a, b oraz wysokości h.

Rozwiązanie:

Z rysunku 5 wynika, że elementarne pole powierzchni dF jest równe iloczynowi bydy. Wartość by trzeba uzależnić od zmiennej y oraz wymiarów boków a, b oraz wysokości h trapezu w następujący sposób:

by=frac{b-a}{h}cdot y+a

Podstawiając powyższą zależność za by można wyprowadzić wzór na pole powierzchni trapezu:

int_0^h by,dy=int_0^h left(frac{b-a}{h}cdot y+a
ight),dy=frac{b-a}{h}cdotint_0^hy,dy+acdotint_0^h,dy=frac{b-a}{h}cdotfrac{1}{2}cdotleft[y^2
ight]_0^h+acdot[y]_0^h=frac{1}{2}cdot(b-a)cdot h+acdot h=frac{1}{2}cdot hcdot(b-a+2cdot a)=frac{1}{2}cdot hcdot(b+a)

I wzór na pole powierzchni trapezu o danych długościach boków a, b oraz wysokości h został wyprowadzony.

Rysunek pomocniczy do zadania 4
Rys. 3
Rysunek pomocniczy.

Zadanie 5 Obliczyć pole powierzchni figury zawartej pomiędzy funkcjami:

f(x)=x^2

f(x)=-x^3+2

w przedziale od -1 do 1.

Rozwiązanie:

Zerkając łaskawym okiem na wykres z rysunku 4 z łatwością można stwierdzić, że od całki funkcji g(x) trzeba odjąć całkę z funkcji f(x).

Wykres funkcji <b>f(x)</b>, <b>g(x)</b> w przedziale od <b>-1</b> do <b>1</b>.
Rys. 4
Wykres funkcji f(x), g(x) w przedziale od -1 do 1.

Przystąpmy więc do rozwiązania zadania:

int_{-1}^1g(x),dx-int_{-1}^1f(x),dx=int_{-1}^1left(-x^3+2
ight),dx-int_{-1}^1x^2,dx=-frac{1}{4}cdotleft[x^4
ight]_{-1}^{1}+2cdot[x]_{-1}^1-frac{1}{3}cdotleft[x^3
ight]_{-1}^1=4-frac{2}{3}=3frac{1}{3}

Zadanie 6 Obliczyć pole powierzchni zawartej pomiędzy osią x a funkcją:

f(x)=x-1

w przedziale od -1 do 2.

Rozwiązanie:

Z rysunku 5 wynika, że funkcja f(x) ma miejsce zerowe w przedziale całkowania. Oznacza to, że konieczne będzie podzielenie przedziału całkowania na dwie części: pierwszą od -1 do x0 oraz drugą od x0 do 2.

Wykres funkcji <b>f(x)</b> w przedziale od <b>-1</b> do <b>2</b>.
Rys. 5
Wykres funkcji f(x) w przedziale od -1 do 2.

Miejsce zerowe funkcji f(x) wyznaczyć należy:

x-1=0Leftrightarrow x=1

Miejsce zerowe funkcji f(x) znajduje się w punkcie x0=1, więc zgodnie z wcześniej omówionym planem podziału przedziału całkowania na dwie części obliczyć trzeba pole powierzchni odejmując od całki po przedziale <x0,2> całkę po przedziale <-1,x0>.

int_{1}^{2}(x-1),dx-int_{-1}^1(x-1),dx=frac{1}{2}cdotleft[x^2
ight]_{1}^2-[x]_{1}^2-frac{1}{2}cdotleft[x^2
ight]_{-1}^1+[x]_{-1}^1=1frac{1}{2}-1+2=2frac{1}{2}left[j^2
ight]

Zadanie 7 Obliczyć pole powierzchni figury zawartej pomiędzy osi x a wykresem funkcji:

f(x)=x^2-1

w przedziale od -2 do 3.

Rozwiązanie:

Na rysunku 6 widać, że funkcja f(x) przebiega poniżej jak i powyżej osi x. Z tego względu konieczne jest rozbicie przedziału całkowania na trzy części: pierwszą od -2 do x1, drugą od x1 do x2 oraz trzecią od x2 do 3, gdzie x1, x2 - miejsca zerowe funkcji f(x).

Wykres funkcji <b>f(x)</b> w przedziale od <b>-2</b> do <b>3</b>.
Rys. 6
Wykres funkcji f(x) w przedziale od -2 do 3.

Postać iloczynową funkcji f(x) można zapisać stosując wzór skróconego mnożenia:

x^2-1=(x-1)cdot (x+1)

więc miejsca zerowe mają następujące wartości:

x_1=1

x_2=-1

Obliczenie pola powierzchni figury leżącej między funkcją f(x) a osią x:

int_{-2}^{-1}left(x^2-1
ight),dx-int_{-1}^{1}left(x^2-1
ight),dx+int_{1}^{3}left(x^2-1
ight),dx=frac{1}{3}cdotleft[x^3
ight]_{-2}^{-1}-[x]_{-2}^{-1}-frac{1}{3}cdotleft[x^3
ight]_{-1}^{1}+[x]_{-1}^{1}+frac{1}{3}cdotleft[x^3
ight]_{1}^{3}-[x]_{1}^{3}=2frac{1}{3}-1-frac{2}{3}+2+8frac{2}{3}-2=9frac{1}{3}left[j^2
ight]

Zadanie 8 Wyznaczyć wartość parametru c funkcji

f(x)=x^2+c

tak aby pole powierzchni części wykresu tej funkcji znajdującej się nad osią x było równe polu powierzchni wykresu funkcji znajdującego się pod osią x w przedziale od -2 do 2.

Rozwiązanie:

Należy scałkować funkcję f(x) i znaleźć taką wartość parametru c, dla której owa całka jest równa zero. Wystarczy więc rozwiązać następujące równanie:

0=int_{-2}^{2}left(x^2+b
ight),dx=frac{1}{3}cdotleft[x^3
ight]_{-2}^2+bcdot[x]_{-2}^2=5frac{1}{3}+4cdot bRightarrow b=-1frac{1}{3}

Wykres funkcji f(x) dla b=-1.(3) można obejrzeć na rysunku 7.

Wykres funkcji <b>f(x)</b> w przedziale od <b>-2</b> do <b>2</b>.
Rys. 7
Wykres funkcji f(x) w przedziale od -2 do 2.

Zadanie 9 Obliczyć pole powierzchni zawartej pomiędzy funkcją

f(x)=frac{1}{2}cdot x+2

a osią x od 0 do przecięcia z funkcją

g(x)=-x+5

oraz pole powierzchni pod funkcją g(x) od punktu przecięcia z funkcją f(x) do 4.

Rozwiązanie:

Rozwiązaniem będzie suma całek funkcji f(x) w przedziale od 0 do xp oraz g(x) w przedziale od xp do 4 co wynika z rysunku 8. Oczywiście xp to nic innego jak punkt przecięcia się funkcji f(x), g(x).

Wykres funkcji <b>f(x)</b> i <b>g(x)</b> w przedziale od <b>0</b> do <b>4</b>.
Rys. 8
Wykres funkcji f(x) i g(x) w przedziale od 0 do 4.

Wyznaczenie punktu przecięcia się funkcji f(x), g(x):

f(x=x_p)-g(x=x_p)=0 Leftrightarrow frac{1}{2}cdot x_p+2+x_p-5=0Rightarrow x_p=2

Obliczenie pola powierzchni:

int_0^2left(frac{1}{2}cdot x+2
ight),dx+int_2^4(-x+5),dx=frac{1}{4}cdotleft[x^2
ight]_0^2+2cdot[x]_0^2-frac{1}{2}cdotleft[x^2
ight]_2^4+5cdot[x]_2^4=1+4-6+10=9left[j^2
ight]

Zadanie 10 Obliczyć pole powierzchni figury znajdującej się pomiędzy funkcją:

f(x)=x^2

a funkcją:

g(x)=x

w przedziale od 0 do 2.

Rozwiązanie:

Niestety funkcje f(x), g(x) w przedziale całkowania się przecinają (co można zobaczyć na rysunku 9) w związku z czym konieczny jest podział przedziału całkowania na dwie części: pierwszą od 0 do xp będącą różnicą całki z funkcji g(x) i f(x), oraz drugą od xp do 2 będącą różnicą całki z funkcji f(x) i g(x).

Wykres funkcji <b>f(x)</b> i <b>g(x)</b> w przedziale od <b>0</b> do <b>2</b>.
Rys. 9
Wykres funkcji f(x) i g(x) w przedziale od 0 do 2.

Wyznaczenie punktów przecięcia funkcji f(x) z funkcją g(x):

f(x)-g(x)=0Leftrightarrow x^2-x=0Rightarrow xcdot(x-1)=0Rightarrow egin{cases}
x_1=0   
x_2=x_p=1  
end{cases}

Obliczenie pola powierzchni:

int_0^1x,dx-int_0^1x^2,dx+int_1^2x^2,dx-int_1^2x,dx=frac{1}{2}cdotleft[x^2
ight]_0^1-frac{1}{3}cdotleft[ x^3
ight]_0^1+frac{1}{3}cdotleft[x^3
ight]_1^2-frac{1}{2}cdot left[x^2
ight]_1^2=frac{1}{2}-frac{1}{3}+2frac{1}{3}-1frac{1}{2}=1left[j^2
ight]

Komentarze