Obliczanie objętości

Stronę tą wyświetlono już: 674 razy

Zadanie 1 Wyznaczyć wzór na objętość stożka o danej wysokości h oraz promieniu podstawy R.

Rozwiązanie:

Zerkając łaskawym okiem na rysunek 1 można zapisać następujący ogólny wzór na objętość stożka:

V=int_0^hpicdot r^2,dz

gdzie:

  • πr2 dz - elementarna objętość dV.
Rysunek pomocniczy do zadania 1
Rys. 1
Rysunek pomocniczy stożka z ważnymi dla wyprowadzenia wzoru wielkościami fizycznymi.

Parametr r trzeba uzależnić od położenia danej objętości elementarnej dV od jego położenia z w następujący sposób:

frac{r}{z}=frac{R}{h}Rightarrow r=frac{Rcdot z}{h}

Podstawienie i wyprowadzenie:

V=int_0^hpicdot r^2,dz=picdotint_0^hleft(frac{Rcdot z}{h}
ight)^2,dz=picdotfrac{R^2}{h^2}cdotint_0^hz^2,dz=frac{picdot R^2}{h^2}cdotfrac{1}{3}cdotleft[z^3
ight]_0^h=frac{1}{3}cdotpicdot R^2cdot h

Zadanie 2 Wyznaczyć wzór na objętość stożka ściętego o danej wysokości h oraz promieniach Rg, Rd.

Rozwiązanie:

Jak w zadaniu 1 tak i tutaj obowiązuje wzór ogólny na objętość tym razem stożka ściętego:

V=int_0^hpicdot r^2,dz

gdzie:

  • πr2 dz - elementarna objętość dV.
Rysunek pomocniczy do zadania 3
Rys. 2
Rysunek pomocniczy stożka ściętego z ważnymi dla wyprowadzenia wzoru wielkościami fizycznymi.

Promień r trzeba uzależnić od wymiarów stożka Rd, Rg oraz h jak również od położenia danej objętości elementarnej dV na osi z.

frac{H}{R_D-R_G}=frac{z}{R_D-r}Rightarrow r = R_D-frac{zcdot left(R_D-R_G
ight)}{H}

Podstawienie i wyprowadzenie:

V=picdotint_0^Hleft[R_D-frac{zcdot left(R_D-R_G
ight)}{H}
ight]^2,dz=picdotint_0^Hleft[R_D^2-frac{2cdot zcdotleft(R_D-R_G
ight)cdot R_D}{H}+frac{z^2cdotleft(R_D-R_G
ight)^2}{H^2}
ight],dz=picdotleft( R_D^2cdot[z]_0^H-frac{2cdotleft(R_D-R_G
ight)cdot R_D}{H}cdotfrac{1}{2}cdotleft[z^2
ight]_0^H+frac{left(R_D^2-2cdot R_Dcdot R_G+R_G^2
ight)}{H^2}cdotfrac{1}{3}cdotleft[z^3
ight]_0^H
ight)=picdotleft(R_D^2cdot H-R_D^2cdot H+R_Gcdot R_Dcdot H+frac{1}{3}cdot R_D^2cdot H-frac{2}{3}cdot R_Dcdot R_Gcdot H+frac{1}{3}cdot R_G^2cdot H
ight)=frac{picdot H}{3}cdotleft(R_D^2+R_Dcdot R_G+R_G^2left)

Zadanie 3 Obliczyć objętość bryły obrotowej o zarysie funkcji

f(x)=x^3-2frac{1}{2}cdot x^2+x+1

w przedziale od 0 do 2

Rozwiązanie:

Poprzez obrót powierzchni z rysunku 3 powstaje bryła, której zarys można obejrzeć z kolei na rysunku 4. Objętość bryły można obliczyć korzystając z wzoru [2] z strony Matematyka → Całki oznaczone → Podstawowe wzory.

Wykres funkcji <b>f(x)</b> w przedziale od <b>0</b> do <b>2</b>.
Rys. 3
Wykres funkcji f(x) w przedziale od 0 do 2.

Obliczenie objętości danej bryły obrotowej:

int_0^2left(x^3-2frac{1}{2}cdot x^2+x+1
ight)^2,dx=int_0^2left(x^6-5cdot x^5+8frac{1}{4}cdot x^4-3cdot x^3-4cdot x^2+2cdot x+1
ight),dx=frac{1}{7}cdot 2^7-frac{5}{6}cdot 2^6+8frac{1}{4}cdot frac{1}{5}cdot 2^5-frac{3}{4}cdot 2^4-frac{4}{3}cdot 2^3+2^2+2=1frac{3}{35}left[j^2]

Przyjmując jako jednostkę cm można śmiało stwierdzić, że bryłka ma niewielką objętość.

Zarys kształtu bryły opisanej funkcją <b>f(x)</b> w przedziale od <b>0</b> do <b>2</b>.
Rys. 4
Zarys kształtu bryły opisanej funkcją f(x) w przedziale od 0 do 2.

Komentarze