Asymptota pozioma funkcji

Stronę tą wyświetlono już: 137 razy

A niechaj będzie dana funkcja f(x), taka że granica tej funkcji dla x→∞ oraz dla x→-∞ jest pewną wartością liczbową (nie nieskończoną), to taka funkcja ma asymptotę poziomą dla y równego granicy tejże funkcji.

Typowym przykładem takiej funkcji są funkcje wymierne. Oto przykład:

f(x) = 2 * x / (2 * x + 1) [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f(x)=\frac{2 \cdot x}{2 \cdot x + 1}

Obliczenie granicy dla x→-∞:

obliczenia granicy funkcji [1] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}\frac{2\cdot x}{2\cdot x + 1}\cdot\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}=\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}\frac{2}{2 + \frac{1}{x}}=1

Obliczenie granicy dla x→∞:

obliczenia granicy funkcji [1] [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\frac{2\cdot x}{2\cdot x + 1}\cdot\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}=\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\frac{2}{2 + \frac{1}{x}}=1

Z powyższych obliczeń wynika, że asymptota pozioma istnieje dla y = 1 co pokazane zostało na poniższym wykresie.

f(x)f(x)x-10-8-6-4-20246810-1.8-1.5-1.2-0.9-0.6-0.300.30.60.9f(x) = (2 · x) / (2 · x + 1)y = 1 (asymptota pozioma)
Rys. 1
Wykres funkcji f(x) oraz asymptoty poziomej tej funkcji
Źródło:
Wykres wygenerowany przes skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Komentarze