Punkt przegięcia funkcji

Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 10053 razy

Czym jest punkt przegięcia funkcji

Zanim przejdę do tego jak sprawdzić, czy dana funkcja ma punkt przegięcia, najpierw pokażę graficznie jakie warunki taki punk przegięcia musi spełniać. W tym celu weźmy sobie taki oto prosty wielomian trzeciego stopnia:

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f(x)=x^3+x^2+x+1

Użyję teraz wzoru [4] z strony Matematyka → Pochodna funkcji → Wzór prostej stycznej do funkcji, by uzyskać następujący wzór funkcji stycznej do punktu przegięcia funkcji f(x):

Wzór funkcji stycznej do punktu przegięcia funkcji f(x)

[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

s(x)=\frac{2\cdot x}{3}+\frac{26}{27}

Teraz rzućmy łaskawym okiem na wykres tej funkcji w otoczeniu punktu przegięcia, który wiem z pewnych źródeł, że znajduje się w punkcie x= -1/3.

Rys. 1

Wykresy funkcji f(x) i stycznej s(x) do punktu przegięcia znajdującego się w x = 0, f(x = 0)

Źródło:

Wykres wygenerowany przez skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

I teraz na podstawie powyższego wykresu mogę wytłumaczyć czym jest punkt przegięcia. Jeżeli obrany zostanie jakiś punkt na wykresie funkcji i narysowana zostanie styczna do tej funkcji w danym punkcie x_s i jeżeli się tak szczęśliwie złoży, iż najbliższe otoczenie wykresu tej funkcji po jednej stronie punktu x_s; f(x_s) i po drugiej stronie tegoż punktu będzie znajdować się po przeciwnych stronach stycznej, to taki punkt jest punktem przegięcia funkcji f(x).

Punkt przegięcia wyznacza więc pewną granicę, pomiędzy częścią wklęsłą wykresu funkcji f(x) a częścią wypukłą.

Warunki istnienia punktu przegięcia funkcji

Funkcja w otoczeniu punktu przegięcia musi być ciągła i musi być co najmniej dwukrotnie różniczkowalna. Jeżeli jednak funkcja ta jest różniczkowalna trzykrotnie to można skorzystać z warunku mówiącego, że: jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna potrójnie i druga pochodna f''(x) ma miejsce zerowe w pewnym punkcie x_p oraz trzecia pochodna f'''(x) w tymże punkcie nie jest równa 0 to punkt x_p jest punktem przegięcia funkcji f(x).

No to nie pozostało nic innego jak sprawdzić, czy funkcja [1] rzeczywiście ma punkt przegięcia. Najpierw trzeba wyznaczyć pierwszą pochodną tej funkcji:

Pierwsza pochodna funkcji f('x) (wzór [1])

[3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f'(x)=3\cdot x^2+2\cdot x+1

Druga pochodna funkcji f(x):

[4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f''(x)=6\cdot x+2\Rightarrow x=-\frac{1}{3}

Jak widać druga pochodna istnieje i ma się dobrze, a jej miejsce zerowe to x = -1/3. No to pozostało obliczenie trzeciej pochodnej:

Trzecia pochodna funkcji f'''(x) (wzór [1])

[5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f'''(x)=6\ne 0

Jak widać trzecia pochodna istnieje i jest różna od zera w punkcie x = -1/3 a więc punkt -1/3; f(x=-1/3) jest punktem przegięcia.

Rys. 1

Wykresy funkcji f(x), jej drugiej f''(x) i trzeciej pochodnej f'''(x)

Źródło:

Wykres wygenerowany przez skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Można sobie też darować obliczanie trzeciej pochodnej i sprawdzić, czy druga pochodna w otoczeniu jej miejsca zerowego zmienia znak po jednej stronie na przeciwny po drugiej jego stronie.