Punkt przegięcia funkcji

Stronę tą wyświetlono już: 156 razy

Czym jest punkt przegięcia funkcji

Zanim przejdę do tego jak sprawdzić, czy dana funkcja ma punkt przegięcia, najpierw pokażę graficznie jakie warunki taki punk przegięcia musi spełniać. W tym celu weźmy sobie taki oto prosty wielomian trzeciego stopnia:

Przykład wielomianu trzeciego stopnia [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f(x)=x^3+x^2+x+1

Użyję teraz wzoru [4] z strony Matematyka → Pochodna funkcji → Wzór prostej stycznej do funkcji, by uzyskać następujący wzór funkcji stycznej do punktu przegięcia funkcji f(x):

Wzór funkcji stycznej do punktu przegięcia funkcji f(x) [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

s(x)=\frac{2\cdot x}{3}+\frac{26}{27}

Teraz rzućmy łaskawym okiem na wykres tej funkcji w otoczeniu punktu przegięcia, który wiem z pewnych źródeł, że znajduje się w punkcie x= -1/3.

yyx00.40.81.21.622.42.83.23.64-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 Punkt przegięciaf(x) = x3 + x2 + x + 1s(x) = 2 · x / 3 + 26 / 27
Rys. 1
Wykresy funkcji f(x) i stycznej s(x) do punktu przegięcia znajdującego się w x = 0, f(x = 0)
Źródło:
Wykres wygenerowany przes skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

I teraz na podstawie powyższego wykresu mogę wytłumaczyć czym jest punkt przegięcia. Jeżeli obrany zostanie jakiś punkt na wykresie funkcji i narysowana zostanie styczna do tej funkcji w danym punkcie xs i jeżeli się tak szczęśliwie złoży, iż najbliższe otoczenie wykresu tej funkcji po jednej stronie punktu xs; f(xs) i po drugiej stronie tegoż punktu będzie znajdować się po przeciwnych stronach stycznej, to taki punkt jest punktem przegięcia funkcji f(x).

Punkt przegięcia wyznacza więc pewną granicę, pomiędzy częścią wklęsłą wykresu funkcji f(x) a częścią wypukłą.

Warunki istnienia punktu przegięcia funkcji

Funkcja w otoczeniu punktu przegięcia musi być ciągła i musi być co najmniej dwukrotnie różniczkowalna. Jeżeli jednak funkcja ta jest różniczkowalna trzykrotnie to można skorzystać z warunku mówiącego, że: jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna potrójnie i druga pochodna f''(x) ma miejsce zerowe w pewnym punkcie xp oraz trzecia pochodna f'''(x) w tymże punkcie nie jest równa 0 to punkt xp jest punktem przegięcia funkcji f(x).

No to nie pozostało nic innego jak sprawdzić, czy funkcja [1] rzeczywiście ma punkt przegięcia. Najpierw trzeba wyznaczyć pierwszą pochodną tej funkcji:

Pierwsza pochodna funkcji f('x) (wzór [1]) [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f'(x)=3\cdot x^2+2\cdot x+1

Druga pochodna funkcji f(x):

Druga pochodna funkcji f''(x) (wzór [1]) [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f''(x)=6\cdot x+2\Rightarrow x=-\frac{1}{3}

Jak widać druga pochodna istnieje i ma się dobrze, a jej miejsce zerowe to x = -1/3. No to pozostało obliczenie trzeciej pochodnej:

Trzecia pochodna funkcji f'''(x) (wzór [1]) [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f'''(x)=6\ne 0

Jak widać trzecia pochodna istnieje i jest różna od zera w punkcie x = -1/3 a więc punkt -1/3; f(x=-1/3) jest punktem przegięcia.

yyx-4-202468-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 Punkt przegięciaf(x) = x3 + x2 + x + 1f''(x) = 6 · x + 2f'''(x) = 6 · x + 2
Rys. 1
Wykresy funkcji f(x), jej drugiej f''(x) i trzeciej pochodnej f'''(x)
Źródło:
Wykres wygenerowany przes skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Można sobie też darować obliczanie trzeciej pochodnej i sprawdzić, czy druga pochodna w otoczeniu jej miejsca zerowego zmienia znak po jednej stronie na przeciwny po drugiej jego stronie.

Komentarze