Ekstrema funkcji i mafijne ich powiązanie z pochodną funkcji

Stronę tą wyświetlono już: 159 razy

Ekstremo funkcji to nic innego jak taki punkt na wykresie funkcji f(x), którego kąt pomiędzy styczną do tegoż punktu wykresu funkcji f(x) a osią x jest równy zero. Taki punkt wyznacza: minimum globalne lub minimum lokalne lub minimum globalne lub maksimum lokalne funkcji f(x). Jaką więc wartość pochodnej w tymże punkcie musi mieć funkcja f(x) aby punkt był ekstremum funkcji? No pochodna to tangens kąta stycznej do punktu wykresu f(x) a więc wszystkie znaki na Ziemi i na niebie mówią zgodnie, że zerowa musi być wartość ta, albowiem tangens jest równy 0. Innymi słowy szukanie ekstrema polega na znalezieniu miejsc zerowych pochodnej f'(x) funkcji f(x). Jeżeli pochodna tejże funkcji nie ma miejsc zerowych to nie ma również ekstrema.

Weźmy na warsztat taką oto funkcję, której ekstrema należy wyznaczyć:

Przykładowa funkcja do wyznaczenia ekstremum [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f(x)=x^5-2\cdot x^4

Wykres tej funkcji w interesującym mnie przedziale od -1 do 2.2 pokazany został na poniższej ilustracji.

yyx-2.4-1.6-0.800.81.62.43.24-0.8-0.400.40.81.21.62f(x) = x5 - 2 · x4
Rys. 1
Wykresy funkcji f(x)
Źródło:
Wykres wygenerowany przes skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Obliczanie pierwszej pochodnej:

Pierwsza pochodna [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f'(x)=5\cdot x^4-8\cdot x^3

Z najdzikszą rozkoszą nanoszę ją na wykres.

yyx0481216202428-0.8-0.400.40.81.21.62f(x) = x5 - 2 · x4 f'(x) = 5 · x4 + 8 · x3
Rys. 2
Wykresy funkcji f(x) i f'(x)
Źródło:
Wykres wygenerowany przes skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji f'(x):

Przekształcenie funkcji f'(x) do postaci iloczynowej [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f'(x)=5\cdot x^4-8\cdot x^3=x^3\cdot\left(5\cdot x-8\right)

a więc pierwsze miejsce zerowe:

Miejsce zerowe funkcji f'(x) [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x_1=0

i drugie miejsce zerowe:

Miejsce zerowe funkcji f'(x) [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x_2=\frac{8}{5}

Rzućmy łaskawym okiem na poniższy wykres, gdzie naniesione zostały niezbędne oznaczenia. Widać, że miejsca zerowe pochodnej f'(x) zaznaczone zieloną pionową linią pokrywają się z ekstremami funkcji f(x). Z wykresu można stwierdzić, że w punkcie x1=0 znajduje się maksimum lokalne funkcji f(x) zaś w punkcie x2 znajduje się minimum lokalne funkcji f(x).

yyx-8-6-4-202468-0.8-0.400.40.81.21.62f(x) = x5 - 2 · x4 f'(x) = 5 · x4 + 8 · x3
Rys. 3
Wykresy funkcji f(x) i f'(x)
Źródło:
Wykres wygenerowany przes skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Komentarze