Rozwiązywanie układów równań liniowych z parametrem
Stronę tą wyświetlono już: 56481 razy
Wprowadzenie
Parametr jest to liczba, która należy do zbioru liczb rzeczywistych i ma wpływ na to, czy rozpatrywany układ równań liniowych ma: jedno rozwiązanie; nieskończenie wiele rozwiązań lub nie ma ich wcale.
Dany układ równań ma:
- jedno rozwiązanie, gdy współczynnik główny W ≠ 0;
- nieskończenie wiele rozwiązań, gdy współczynnik główny W = 0 i współczynniki Wx oraz Wy = 0;
- nie ma rozwiązań (jest sprzeczny), gdy wyznacznik główny W = 0 i ( współczynnik Wx ≠ 0 lub współczynnik Wy ≠ 0)
Wyżej wymienione współczynniki związane są z wzorami Cramera oraz z obliczaniem wyznacznika z macierzy kwadratowej, co opisane szczegółowo zostało na stronie Matematyka → Macierze → Wyznacznik macierzy.
Przykład rozwiązywania układów równań liniowych z parametrem
Przykład układu równań z parametrem a, dla którego należy określić dla jakich wartości tegoż parametru a układ ten jest:
- sprzeczny;
- ma nieskończenie wiele rozwiązań;
- ma jedno rozwiązanie.
A oto i upragniony układ równań z parametrem:
Obliczanie wyznacznika głównego:
[2] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Obliczanie wyznacznika dla zmiennej x:
[3] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Obliczanie wyznacznika dla zmiennej y:
[4] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Teraz trzeba odpowiedzieć na pytanie: dla jakich wartości współczynnika a wyznacznik główny W ≠ 0? A oto i odpowiedź:
[5] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Z powyższego wynika niezbicie, że rozpatrywany układ równań ma jedno rozwiązanie, gdy parametr a nie jest równy 1 lub -1. To rozwiązanie będzie miało następującą postać:
[6] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Pozostało jeszcze sprawdzenie, czy gdy współczynnik główny W jest równy 0, to któryś z współczynników Wx lub Wy jest różny od 0. Jeżeli tak, to układ nie ma rozwiązań, a jeżeli nie to ma ich nieskończenie wiele.
Sprawdzenie wartości współczynnika Wx dla a = 1 i a = -1:
i dla a = -1:
Z powyższych jakże zaawansowanych obliczeń wynika niezbicie, że układ równań jest sprzeczny tak dla a = -1 jak i dla a = 1.
Zadania do samodzielnego rozwiązania:
Rozwiązać układy liniowych równań z parametrem:
[9] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Tytuł:
Matematyka w uczeniu maszynowym
Autor:
Marc Peter Deisenroth, A. Aldo Faisal, Cheng Soon Ong
Tytuł:
Matematyka dyskretna dla praktyków. Algorytmy i uczenie maszynowe w Pythonie
Autor:
Ryan T. White, Archana Tikayat Ray
Tytuł:
Matematyka w Pythonie. Algebra, statystyka, analiza matematyczna i inne dziedziny
Autor:
Amit Saha
Tytuł:
Matematyka dla menedżerów. Wydanie II
Autor:
Michael C. Thomsett
Tytuł:
Matematyka Poradnik encyklopedyczny
Autor:
I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew
Tytuł:
Matematyka finansowa
Autor:
Jacek Jakubowski, Andrzej Palczewski, Marek Rutkowski, Łukasz Stettner
Tytuł:
Proste jak pi Matematyka to bułka z masłem
Autor:
Liz Strachan
Tytuł:
O twierdzeniach i hipotezach. Matematyka według Delty
Autor:
Witold Sadowski, Wiktor Bartol
Tytuł:
Matematyka dla biologów
Autor:
Dariusz Wrzosek
Tytuł:
Matematyka dla programistów Java
Autor:
Jacek Piechota