Ciągi geometryczne

Stronę tą wyświetlono już: 3419 razy

Podstawowe definicje ciągu geometrycznego

Ciąg liczbowy (a_n) jest ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest on co najmniej trójelementowy, a każdy z elementów tego ciągu począwszy od drugiego powstaje poprzez pomnożenie elementu poprzedniego przez stałą liczbę q nazywaną ilorazem ciągu.

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\bigvee_{q\in R}\bigwedge_{n\in N^+}a_{n+1}=a_{n}\cdot q

Skończony ciąg (a₁, a₂, ..., a_n) jest ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest co najmniej trójelementowy, a każdy element począwszy od drugiego powstaje poprzez pomnożenie elementu poprzedniego przez stałą liczbę q nazywaną ilorazem ciągu.

Wzór na n-ty element ciągu geometrycznego

Wzór rekurencyjny:

[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a_n=a_{n-1}\cdot q

Wzór bezpośredni:

[3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a_n=a_1\cdot q^{n-1}

Wzór na sumę n początkowych elementów ciągu geometrycznego

Gdy q = 1:

[4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S_n=n\cdot a_1

Gdy q ≠ 1:

[5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S_n=\frac{a_1\cdot(1-q^n)}{1-q}

Monotoniczność ciągu geometrycznego

Ciąg geometryczny jest rosnący:

• gdy q > 1 i a₁ > 0;
• gdy q ∈ (0; 1) i a₁ < 0

Ciąg geometryczny jest malejący:

• gdy q > 1 i a₁ < 0;
• gdy q ∈ (0; 1) i a₁ > 0

Ciąg geometryczny jest stały:

• gdy q = 1;
• gdy a₁ = 0

Zbieżność ciągu geometrycznego

Gdy q = 1 lub a₁ = 0, wtedy:

[6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=a_1

Gdy |q| < 1, wtedy:

[7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=0

Ciąg geometryczny jest naprzemienny gdy q < 0

Zależność elementów ciągu geometrycznego

Jeżeli dane są dwa elementy ciągu geometrycznego, których różnica indeksów jest podzielna przez dwa to:

[8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

|a_n|=\sqrt{a_{n+1}\cdot a_{n-1}}=\sqrt{a_{n+k}\cdot a_{n-k}}

Tytuł:

Matematyka w uczeniu maszynowym

Autor:

Marc Peter Deisenroth, A. Aldo Faisal, Cheng Soon Ong

Tytuł:

Matematyka dyskretna dla praktyków. Algorytmy i uczenie maszynowe w Pythonie

Autor:

Ryan T. White, Archana Tikayat Ray

Tytuł:

Matematyka w Pythonie. Algebra, statystyka, analiza matematyczna i inne dziedziny

Autor:

Amit Saha

Tytuł:

Matematyka dla menedżerów. Wydanie II

Autor:

Michael C. Thomsett

Tytuł:

Matematyka Poradnik encyklopedyczny

Autor:

I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew

Tytuł:

Matematyka finansowa

Autor:

Jacek Jakubowski, Andrzej Palczewski, Marek Rutkowski, Łukasz Stettner

Tytuł:

Proste jak pi Matematyka to bułka z masłem

Autor:

Liz Strachan

Tytuł:

O twierdzeniach i hipotezach. Matematyka według Delty

Autor:

Witold Sadowski, Wiktor Bartol

Tytuł:

Matematyka dla biologów

Autor:

Dariusz Wrzosek

Tytuł:

Matematyka dla programistów Java

Autor:

Jacek Piechota