Ciągi geometryczne

Stronę tą wyświetlono już: 122 razy

Podstawowe definicje ciągu geometrycznego

Ciąg liczbowy (an) jest ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest on co najmniej trójelementowy, a każdy z elementów tego ciągu począwszy od drugiego powstaje poprzez pomnożenie elementu poprzedniego przez stałą liczbę q nazywaną ilorazem ciągu.

Matematyczny zapis definicji ciągu geometrycznego [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\bigvee_{q\in R}\bigwedge_{n\in N^+}a_{n+1}=a_{n}\cdot q

Skończony ciąg (a1, a2, ..., an) jest ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest co najmniej trójelementowy, a każdy element począwszy od drugiego powstaje poprzez pomnożenie elementu poprzedniego przez stałą liczbę q nazywaną ilorazem ciągu.

Wzór na n-ty element ciągu geometrycznego

Wzór rekurencyjny:

Rekurencyjny wzór na n-ty element ciągu geometrycznego [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a_n=a_{n-1}\cdot q

Wzór bezpośredni:

Bezpośredni wzór na n-ty element ciągu geometrycznego [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a_n=a_1\cdot q^{n-1}

Wzór na sumę n początkowych elementów ciągu geometrycznego

Gdy q = 1:

Wzór na sumę n początkowych elementów ciągu geometrycznego dla q = 1 [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S_n=n\cdot a_1

Gdy q ≠ 1:

Wzór na sumę n początkowych elementów ciągu geometrycznego dla q różnego od 1 [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S_n=\frac{a_1\cdot(1-q^n)}{1-q}

Monotoniczność ciągu geometrycznego

Ciąg geometryczny jest rosnący:

  • gdy q > 1 i a1 > 0;
  • gdy q ∈ (0; 1) i a1 < 0

Ciąg geometryczny jest malejący:

  • gdy q > 1 i a1 < 0;
  • gdy q ∈ (0; 1) i a1 > 0

Ciąg geometryczny jest stały:

  • gdy q = 1;
  • gdy a1 = 0

Zbieżność ciągu geometrycznego

Gdy q = 1 lub a1 = 0, wtedy:

Granica ciągu geometrycznego gdy q = 1 lub a1 = 0 [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=a_1

Gdy |q| < 1, wtedy:

Granica ciągu geometrycznego gdy q = 1 lub a1 = 0 [7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=0

Ciąg geometryczny jest naprzemienny gdy q < 0

Zależność elementów ciągu geometrycznego

Jeżeli dane są dwa elementy ciągu geometrycznego, których różnica indeksów jest podzielna przez dwa to:

Równanie [8] [8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

|a_n|=\sqrt{a_{n+1}\cdot a_{n-1}}=\sqrt{a_{n+k}\cdot a_{n-k}}

Komentarze