Granica ciągu

Stronę tą wyświetlono już: 122 razy

Wstęp

W celu poprawnego zrozumienia dalszej części tej strony, należy zrozumieć istotę zdania prawie wszystkie wyrazy ciągu, które oznacza elementy ciągu nieskończonego z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczy wyrazów. Jest to istotne, gdyż w dalszej części tej strony dla uproszczenia (skrócenia) niektórych definicji będę posługiwał się zdaniem prawie wszystkie wyrazy ciągu.

Granica właściwa ciągu

Liczba q jest granicą ciągu nieskończonego (an), jeżeli do każdego otoczenia liczby g należą prawie wszystkie wyrazy ciągu (an), co zapisuje się:

Równanie [1] [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a_n\rightarrow g

lub

Równanie [2] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=g

Matematyczny zapis powyższej definicji granicy właściwej ciągu:

Matematyczny zapis definicji granicy właściwej ciągu [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=g\Leftrightarrow \bigwedge_{\varepsilon> 0}\bigvee_{m\in N^+}\bigwedge_{n> m}|a_n-g|<\varepsilon

Graficzna interpretacja definicji pokazana została na poniższym rysunku, gdzie jak widać poniżej wartości ϵ = 40 znajduje się nieskończona liczba elementów tego ciągu z czego wynika, iż ciąg ten ma granicę właściwą.

02040608010000.91.82.73.64.55.46.37.28.1Punkty ciąguε = 40
Rys. 1
Przykład ciągu posiadającego granicę właściwą g
Źródło:
Wykres wygenerowany przes skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Każdy ciąg, który ma granicę właściwą jest ciągiem zbieżnym, natomiast rozbieżnym w przypadku przeciwnym.

Granica niewłaściwa ciągu

Ciąg (an) jest rozbieżny → +∞ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M prawie wszystkie elementy ciągu są większe od M, co zapisuje się:

Równanie [4] [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=+\infty

Zapis matematyczny powyższej definicji:

Równanie [5] [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=+\infty\Rightleftarrow \bigwedge_{M\in R}\bigvee_{m\in N^+}\bigwedge_{n> m}a_n>M

Poniżej pokazana została interpretacja graficzna powyższej definicji dla przykładowego ciągu. Jak widać prawie wszystkie elementy tegoż ciągu leżą powyżej obranej wartości M = 3. Co ważne, niezależnie od tego jaką wartość przyjmie M i tak zawsze nieskończona liczba elementów tego ciągu będzie się nad nią mieściła.

012345678910012345678910Punkty ciąguM = 3
Rys. 1
Przykład ciągu posiadającego granicę niewłaściwą w +∞
Źródło:
Wykres wygenerowany przes skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Ciąg an jest rozbieżny → -∞ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M prawie wszystkie elementy ciągu są mniejsze od M, co zapisuje się:

Równanie [6] [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=-\infty

Zapis matematyczny powyższej definicji:

Równanie [7] [7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=-\infty\Rightleftarrow \bigwedge_{M\in R}\bigvee_{m\in N^+}\bigwedge_{n> m}a_n

Jeżeli dany jest ciąg (an), dla którego wartości bezwzględnej granica jest równa &infty; dla n → &infty; to granica ciągu odwrotego będzie równa 0 co zapisać można w następujący sposób:

Równanie [8] [8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\infty\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{a_n}=0

Jeżeli dany jest ciąg (an), którego każdy element jest większy od zera i granica takiego ciągu jest równa zero to granica ciągu odwrotnego tego ciągu będzie równa +∞ co zapisać można w następujący sposób:

Równanie [9] [9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\left(\bigwedge_{n\in N^+}a_n>0 \wedge \lim_{n\rightarrow\infty}=0\right)\Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{a_n}=+\infty

Komentarze