Mnożenie dwóch liczb zespolonych

Stronę tą wyświetlono już: 810 razy

Mnożenie liczb zespolonych wymaga poznania pewnych podstawowych właściwości jednostki urojonej i, która spełnia następujący warunek:

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

i=\sqrt{-1}\Rightarrow i^2=-1

Jak widać wbrew nauczaniu w szkołach podstawowych istnieje coś takiego jak pierwiastek z liczby ujemnej. Powyższa zależność pozwala na wykonywanie odejmowania mnożenia dwóch liczb zespolonych. Zacznę więc od przypadku, gdy jedna z liczb zespolonych jest pozbawiona części urojonej:

[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

Z_3=Z_1\cdot Z_2=a_1\cdot(a_2+b_2i)=a_1\cdot a_2+a_1\cdot b_2i

Kolejny przypadek (nieco trudniejszy), czyli mnożenie dwóch liczb zespolonych, gdzie część rzeczywista ma wartość zerową:

[3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

Z_3=Z_1\cdot Z_2=b_1i\cdot(a_2+b_2i)=a_2\cdot b_2i+b_1\cdot b_2i^2=-b_1\cdot b_2+a_2\cdot b_2i

Mnożenie dwóch liczb zespolonych posiadających część rzeczywistą i urojoną:

[4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

Z_3=Z_1\cdot Z_2=(a_1+b_1i)\cdot(a_2+b_2i)=a_1\cdot a_2+a_1\cdot b_2i+a_2\cdot b_1i+b_1\cdot b_2 i^2=a_1\cdot a_2+(a_1\cdot b_2+a_2\cdot b_1)i-b_1\cdot b_2=a_1\cdot a_2-b_1\cdot b_2+(a_1\cdot b_2+a_2\cdot b_1)i

Komentarze