Obliczenie przyspieszeń układów ciał metodą Newtona

Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 4581 razy

Zadanie 1

Obliczyć przyspieszenie ac krążka toczącego się bez poślizgu po poziomej płaszczyźnie połączonego za pośrednictwem nieważkiego i nierozciągliwego cięgna z krążkiem, do którego przyłożony został moment obrotowy M będący jedynym czynnikiem wywołujący ruch układu.

Rysunek do zadania 1
Rys. 1
Rysunek układu ciał wprawianych w ruch momentem obrotowym M.

Dane:

R[m]; Q[N]; M[Nm]

Rozwiązanie:

Na rysunku 1 zaznaczone zostały jedynie podstawowe informacje, bez oznaczenia wektorów przyspieszenia liniowego, kątowego oraz sił tarcia i siły w cięgnie i podziału na dwa podukłady. Innymi słowy trzeba zrobić nowy rysunek z wszystkimi potrzebnymi oznaczeniami.

Rysunek do zadania 1
Rys. 2
Rysunek układu ciał wprawianych w ruch momentem obrotowym M z uzupełnionymi oznaczeniami.
Równanie [1] [1]

i drugie równanie dynamiczne ruchu prostoliniowego środka ciężkości krążka toczącego się bez poślizgu:

Równanie [2] [2]

Ostatnie równanie dynamiczne ruchu obrotowego koła z dla układu I:

Równanie [3] [3]

Mamy trzy równania, z których dodając odpowiednio stronami można uzyskać jedno równanie pozbawione niewiadomych sił tarcia T i cięgna S1.

Równanie [4] [4]

W równaniu [4] są trzy niewiadome, z pośród których należy wyznaczyć ac więc konieczne jest zastosowanie tu następujących zależności kinematycznych:

Równanie [5] [5]
Równanie [6] [6]
Równanie [7] [7]

Podstawiając do równania [4] powyższe zależności otrzymujemy:

21cdot frac{Q}{g}cdot Rcdot a_c=3cdot MRightarrow a_c=frac{Mcdot g}{7cdot Qcdot R}left[frac{m}{s^2}right] [8]

Zadanie 2

Obliczyć przyśpieszenie ac krążka o masie m zawieszonego na nieważkim i nierozciągliwym cięgnie.

Rysunek do zadania 2
Rys. 3
Rysunek układu do zadania.

Dane:

r[m];m[kg]

Rozwiązanie:

Tradycyjnie jak w poprzednim zadaniu wprowadzić oznaczenia trzeba do układu.

Rysunek do zadania 2
Rys. 4
Rysunek układu z uzupełnionymi oznaczeniami.

Dynamiczne równania ruchu dla poszczególnych układów:

Układ I

Równanie [9] [9]

Układ II

Równanie [10] [10]
Równanie [11] [11]

Układ III

Równanie [12] [12]

Układ IV

Równanie [13] [13]
Równanie [14] [14]

Układ V

Równanie [15] [15]

Zależności kinetyczne:

Równanie [16] [16]
Równanie [17] [17]
Równanie [18] [18]

Dodawanie równań stronami i podstawienie zależności kinematycznych:

Równanie [19] [19]
Równanie [20] [20]
[480]cdot 2+[488]Rightarrow 7cdot mcdot a_c=-2cdot S_4+3frac{1}{2}cdot mcdot g [21]
Równanie [22] [22]
[483]+[490]Rightarrow 9frac{1}{2}cdot mcdot a_c=1frac{1}{2}cdot mcdot gRightarrow a_c=frac{3}{19}cdot gleft[frac{m}{s^2}right] [23]

Zadanie 3

Obliczyć przyśpieszenie ac krążka o ciężarze 3Q zawieszonego na nieważkim i nierozciągliwym cięgnie.

Rysunek do zadania 3
Rys. 5
Rysunek układu do zadania.

Dane:

r[m];Q[N]

Rozwiązanie:

Tradycyjnie od uzupełnienia rysunku zacząć muszę.

Rysunek do zadania 3
Rys. 6
Rysunek układu z naniesionymi oznaczeniami dodatkowymi.

Równania dynamiczne ruchu dla poszczególnych podukładów:

Układ I

Zależność kinematyczna:

Równanie [24] [24]

Równania dynamiczne:

Równanie [25] [25]
Równanie [26] [26]

Układ II

Zależność kinematyczna:

Równanie [27] [27]

Równanie dynamiczne:

Równanie [28] [28]

Układ III

Równanie [29] [29]

Układ IV

Zależność kinematyczna:

Równanie [30] [30]

Równanie dynamiczne ruchu:

Równanie [31] [31]

Układ V

Zależność kinematyczna:

Równanie [32] [32]

Równanie dynamiczne ruchu:

Równanie [33] [33]

Układ VI

Zależność kinematyczna:

Równanie [34] [34]

Równanie dynamiczne ruchu:

Równanie [35] [35]

Układ VII

Równanie [36] [36]

Układ VIII

Równanie [37] [37]

Redukcja niewiadomych poprzez dodawanie równań stronami:

Równanie [38] [38]
Równanie [39] [39]
Równanie [40] [40]
Równanie [41] [41]
Równanie [42] [42]
Równanie [43] [43]
Równanie [44] [44]
[37]cdot 6cdot R+[44]Rightarrow 71frac{1}{2}cdotfrac{Q}{g}cdot Rcdot a_c=-26cdot Qcdot R+6cdot MRightarrow a_c=frac{8}{143}cdot gleft[frac{m}{s^2}right] [45]

Zadanie 4

Obliczyć przyśpieszenie a ciężarka o masie 2m położonego na płaskiej poziomej płaszczyźnie. W układzie należy pominąć tarcie ciężarków o podłoże oraz masę cięgna.

Rysunek do zadania 4
Rys. 7
Rysunek układu do zadania.

Dane:

R[m];m[kg]

Rozwiązanie:

Uzupełnienie oznaczeń.

Rysunek do zadania 4
Rys. 8
Rysunek układu z uzupełnionymi oznaczeniami.

Układ I

Równanie [46] [46]

Układ II

Równanie [47] [47]
Równanie [48] [48]
Równanie [49] [49]

Układ III

Równanie [50] [50]
Równanie [51] [51]
Równanie [52] [52]

Układ IV

Równanie [53] [53]
Równanie [54] [54]
Równanie [55] [55]

Układ V

Równanie [56] [56]
Równanie [57] [57]
Równanie [58] [58]

Układ VI

Równanie [59] [59]

Układ VII

Równanie [60] [60]
Równanie [61] [61]
Równanie [62] [62]

Układ VIII

Równanie [63] [63]
Równanie [64] [64]
Równanie [65] [65]

Układ IX

Równanie [66] [66]
Równanie [67] [67]
Równanie [68] [68]

Dodawanie równań stronami

Równanie [69] [69]
Równanie [70] [70]
Równanie [71] [71]
Równanie [72] [72]
[60]+[72]Rightarrow 67frac{1}{4}cdot mcdot a_1=12cdot F+6cdot mcdot g-1frac{1}{4}cdot mcdot gcdot sqrt3-4cdot T_2 [73]
Równanie [74] [74]
Równanie [75] [75]
Równanie [76] [76]
a=3frac{219}{287}cdot g-frac{30cdot sqrt 3}{2009}cdot g=37,372left[frac{m}{s^2}right] [77]

Zadanie 5

Obliczyć przyśpieszenie a krążka toczącego się bez poślizgu po równi pochyłej.

Rysunek do zadania 5
Rys. 9
Rysunek układu do zadania.

Dane:

R[m];m[kg]

Rozwiązanie:

Uzupełnienie oznaczeń.

Rysunek do zadania 5
Rys. 10
Rysunek układu z uzupełnionymi oznaczeniami.

Układ I

Równanie [78] [78]
Równanie [79] [79]
Równanie [80] [80]
Równanie [81] [81]

Układ II

Równanie [82] [82]
Równanie [83] [83]
Równanie [84] [84]
Równanie [85] [85]
Równanie [86] [86]

Układ III

Równanie [87] [87]
Równanie [88] [88]
Równanie [89] [89]
Równanie [90] [90]
Równanie [91] [91]

Układ IV

Równanie [92] [92]
Równanie [93] [93]
Równanie [94] [94]
Równanie [95] [95]
Równanie [96] [96]

Układ V

Równanie [97] [97]

Układ VI

Równanie [98] [98]

Układ VII

Równanie [99] [99]

Dodawanie równań stronami:

Równanie [100] [100]
Równanie [101] [101]
Równanie [102] [102]
Równanie [103] [103]
[100]+[101]cdot 4+[102]cdot 5 + [103]Rightarrow 335frac{101}{108}cdot a_c=45cdot gRightarrow a_c=frac{4860}{36281}g=1,3395left[frac{m}{s^2}right] [104]
Tematy powiązane