Twierdzenie o sumie kątów trójkąta dowolnego

Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 13360 razy

Twierdzenie o sumie kątów trójkąta dowolnego jest następujące: w każdym trójkącie dowolnym suma kątów wewnętrznych jest równa 180°. Jego odkrycie przypisuje się Pitagorasowi, aczkolwiek nie jest to pewne. Tak czy inaczej twierdzenie owo bardzo łatwo ubrać w słowa matematyczne w następujący sposób:

Wzór na sumę kątów trójkąta dowolnego [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}

Jak Pitagoras mógł udowodnić to zuchwałe twierdzenie? A na przykład tak jak na rysunku 1.

Udowodnienie słuszności twierdzenia o sumie kątów trójkąta prostokątnego.
Rys. 1
Udowodnienie słuszności twierdzenia o sumie kątów trójkąta prostokątnego.

No właśnie, jak sam podpis pod rysunkiem wskazuje coś tu się nie zgadza, miało być udowodnienie dla trójkąta dowolnego, a pokazane zostało jedynie dla prostokątnego. Nie ma oczywiście powodów do obaw, albowiem rysunek 1 można potraktować jako wstęp ponieważ każdy trójkąt da się podzielić na dwa trójkąty prostokątne, a stąd przez analogię do dowodu z rysunku 1 można wywnioskować, że twierdzenie o sumie kątów trójkąta dowolnego jest prawdziwe i jak najbardziej słuszne.

Udowodnienie słuszności twierdzenia o sumie kątów trójkąta dowolnego na podstawie twierdzenia o możliwości podziału trójkąta dowolnego na dwa trójkąty prostokątne.
Rys. 2
Udowodnienie słuszności twierdzenia o sumie kątów trójkąta dowolnego na podstawie twierdzenia o możliwości podziału trójkąta dowolnego na dwa trójkąty prostokątne.

Zanim przedstawię drugi dowód, udowodnię słuszność twierdzenia o kątach zawartych pomiędzy prostymi równoległymi m, k a prostą n przecinającą je jak na rysunku 3.

Udowodnienie, że kąty zawarte pomiędzy dwiema prostymi i leżące po przeciwnych stronach mają tę samą wartość i przenoszą się na wszystkie inne proste równoległe do przecinających się.
Rys. 3
Udowodnienie, że kąty zawarte pomiędzy dwiema prostymi i leżące po przeciwnych stronach mają tę samą wartość i przenoszą się na wszystkie inne proste równoległe do przecinających się.

W oparciu o dowód z rysunku 3, można udowodnić słuszność twierdzenia o sumie kątów trójkąta dowolnego za pomocą rysunku 4.

Graficzne udowodnienie słuszności twierdzenia o sumie kątów trójkąta dowolnego.
Rys. 4
Graficzne udowodnienie słuszności twierdzenia o sumie kątów trójkąta dowolnego.

Twierdzenie o sumie kątów trójkąta dowolnego a wzór na sumę kątów wielokąta dowolnego

A niechaj będzie dany n-kąt dowolny, taki że n∈{3,4,5,6,...,∞}. Znając twierdzenie na sumę kątów trójkąta dowolnego można wyprowadzić wzór na sumę kątów n-kąta dowolnego na podstawie rysunku 5.

Rysunek pomocniczy do wyprowadzenia wzoru na sumę kątów n-kąta dowolnego.
Rys. 5
Rysunek pomocniczy do wyprowadzenia wzoru na sumę kątów n-kąta dowolnego.

Łącząc punkt P leżący wewnątrz n-kąta dowolnego z jego wierzchołkami tak jak jest to pokazane na rysunku 5, uzyskuje się wielokąt podzielony na n trójkątów. Suma kątów αi tych trójkątów jak wynika z rysunku jest równa 360°. Ponieważ suma kątów w każdym z trójkątów jest równa 180°, to wzór na sumę kątów n-kąta dowolnego przyjmuje następującą postać:

Równanie [2] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\sum_{i=1}^{n}{\beta_i}=\ncdot 180^{\circ}-\sum_{i=1}^{n}{\alpha_i}=\ncdot180^{\circ}-360^{\circ}