Skończony ciąg liczbowy związany z trójkątem Pascala

Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 255 razy

Niechaj istnieje zbiór skończony S = { 4; 4; 3; -9; 21; -27 } i niechaj p(L, c) oznacza l-tą linię trójkąta Pascala i c-ty element tegoż trójkąta. I niechaj istnieje następujący wzór opisujący ciąg zbudowanym na tymże zbiorze liczbowym:

a_n=sum_{k=1}^{n}p(n,k)cdot s_k [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a_n=\sum_{k=1}^{n}p(n,k)\cdot s_k

Zaprawdę powiadam wam, że wtedy to kolejne elementy tego ciągu będą wynosiły:

a_1=s_1=4 [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a_1=s_1=4
a_2=s_1+s_2=8 [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a_2=s_1+s_2=8
a_3=s_1+2cdot s_2+s_3=15 [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a_3=s_1+2\cdot s_2+s_3=15
a_4=s_1+3cdot s_2+3cdot s_3+s_4=16 [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a_4=s_1+3\cdot s_2+3\cdot s_3+s_4=16
a_5=s_1+4cdot s_2+6cdot s_3+4cdot s_4+s_5=23 [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a_5=s_1+4\cdot s_2+6\cdot s_3+4\cdot s_4+s_5=23
a_6=s_1+5cdot s_2+10cdot s_3+10cdot s_4+5cdot s_5+s_6=42 [7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a_6=s_1+5\cdot s_2+10\cdot s_3+10\cdot s_4+5\cdot s_5+s_6=42

Z powyższego przekształcenia wynika, ciąg liczbowy może wynikać nie tylko z funkcyjnej operacji na jednym elemencie zbioru liczbowego, ale również i z operacji na n elementach innego zbioru liczbowego.

Odwrócony trójkąt sum Pascala
Rys. 1
Odwrócony trójkąt sum Pascala