Stronę tą wyświetlono już: 55496 razy

Któż nie zna starej dobrej stałej matematycznej π≈3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510..., ale cóż owa liczba oznacza? Oczywiście π to nic innego jak stosunek obwodu O okręgu do jego średnicy d. Pojawia się pytanie: jak można wyznaczyć liczbę π? Najstarszym sposobem jest zmierzenie za pomocą sznurka i linijki obwodu okręgu O oraz średnicy d i podzieleniu ich przez siebie w następujący sposób:

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\pi=\frac{O}{d}

Wyznaczenie liczby π możliwe jest również przy użyciu wzoru Leibniz-a:

[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\pi=4\cdot\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{\left(-1\right)^{n-1}}{2\cdot n-1}}=4\cdot\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-...\right)

Szereg [2] jest niestety wolno zbieżny, co oznacza, że aby obliczyć π z odchyleniem od rzeczywistej jej wartości mniejszym od 0.00001 trzeba zsumować aż 100 001 elementów tego szeregu. W ten sposób uzyskana liczba π ma wartość równą 3.14160265349 a jej odchylenie wynosi około 0.0000099999. Aby uzyskać większą dokładność, konieczne jest zliczenie znacznie większej liczby elementów szeregu potęgowego [2].

Liczbę π można obliczyć za pomocą szeregu aproksymującego obwód okręgu przy użyciu wielokątów foremnych. Wzór wyprowadzić można korzystając z rysunku 1.

Podstawą do wyprowadzenia wzoru aproksymującego obwód okręgu o promieniu r jest kwadrat narysowany czerwonymi liniami na rysunku 1. Dla trójkąta prostokątnego ΔACO można obliczyć długość jego przeciwprostokątnej |AC|, która jest równa:

[3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

|AC|=r\cdot \sqrt{2}

Na podstawie tych danych, można obliczyć długość boku ośmiokąta foremnego opisanego na tym samym okręgu kolorem zielonym (rys. 1). Zacząć należy od wyznaczenia długości boku l₂ trójkąta prostokątnego ΔBCO wykorzystując twierdzenie Pitagorasa:

[4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

l_2=\sqrt{r^2-\left(\frac{r\cdot\sqrt{2}}{2}\right)^2}

Dla dalszego uproszczenia sprawy, przyjmijmy wartość pomocniczą a₁ równą:

[5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a_1=r\cdot \sqrt{2}

Teraz wyrażenie [4] upraszcza się do następującej postaci:

[6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

l_2=\sqrt{r^2-\left(\frac{a_1}{2}\right)^2}

W celu wyznaczenia długości boku ośmiokąta foremnego konieczne jest wyznaczenie długości l₁ boku trójkąta ΔBCD. Należy zauważyć, że suma długość l₁+l₂ jest równa promieniowi r okręgu, w związku z czym długość l₁ można zapisać następującą zależnością:

[7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

l_1=r-l_2\Rightarrow l_1=r-\sqrt{r^2-\left(\frac{a_1}{2}\right)^2}

Ostatecznie więc długość boku |DC| ośmiokąta foremnego można obliczyć w następujący sposób:

[8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

|DC|=\sqrt{l_1^2+\left(\frac{a_1}{2}\right)^2}=\sqrt{\left(r-\sqrt{r^2-\left(\frac{a_1}{2}\right)^2}\right)^2+\left(\frac{a_1}{2}\right)^2}

Znając długość |DC| ośmiokąta, i przyjmując ją jako a₁ można obliczyć długość boku szesnastokąta opisanego na tym samym okręgu, a więc wzór [8] można zapisać w postaci następującego ciągu liczbowego:

[9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a_n=\sqrt{l_1^2+\left(\frac{a_{n-1}}{2}\right)^2}=\sqrt{\left(r-\sqrt{r^2-\left(\frac{a_{n-1}}{2}\right)^2}\right)^2+\left(\frac{a_{n-1}}{2}\right)^2}

ciąg ten opisuje długości boków wielokątów, których liczba boków jest dana następującą zależnością:

[10]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

w=2^{n+1}

gdzie w oznacza liczbę boków, n oznacza numer elementu ciągu [9]. Mnożąc wyrażenie [10] przez wzór [9] otrzymuje się ciąg opisujący długość obwodu wielokątów danych zależnością [10] opisanych na tym samym okręgu o promieniu r. Wzór ten będzie miał więc ostatecznie następującą postać:

[11]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

b_n=2^{n+1}\cdot\sqrt{\left(r-\sqrt{r^2-\left(\frac{a_{n-1}}{2}\right)^2}\right)^2+\left(\frac{a_{n-1}}{2}\right)^2}

Dla n→∞ b_n=2·π·r, w związku z czym dla kolejnych elementów ciągu b_n można uzyskać coraz to dokładniejszą wartość liczby π w następujący sposób:

[12]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

c_n=\frac{2^{n+1}}{2\cdot r}\cdot\sqrt{\left(r-\sqrt{r^2-\left(\frac{a_{n-1}}{2}\right)^2}\right)^2+\left(\frac{a_{n-1}}{2}\right)^2}

Dla 24 elementu ciągu [12] uzyskuje się przybliżoną wartość liczby π = 3.14159265358979, któremu odpowiada 33 554 432-kąt foremny.

Kolejnym ciekawym sposobem wyznaczenia liczby π jest skorzystanie z prawdopodobieństwa przecięcia się igły o długości l z liniami równoległego podziału obszaru prostokątnego umieszczonych w odstępach równych t, takich że t ≥ l. Przykładowy podział obszaru oraz igieł: a przecinającej linię podziału i b nie przecinającej linii podziału można obejrzeć na rysunku 2.

Rzucając N razy na obszar prostokątny podzielony jak na rysunku 2 można zliczyć liczbę przypadków n, w których rzucona igła przecięła się z którąkolwiek z linii podziału. Znając n i N można obliczyć prawdopodobieństwo przecięcia się igły z linią podziału według następującej zależności:

[13]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P=\frac{n}{N}

Przecięcie linii podziału przez igłę jest związane z dwoma czynniki: odległością środka igły x_c od najbliższej linii podziału, oraz wartości mniejszego kąta nachylenia igły θ względem linii podziałowych. Przedział wartości, jakie może przyjmować parametr x_c jest więc następujący:

[14]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x_c\in \left[0;\frac{t}{2}\right]

natomiast dla parametru θ dostępne są wartości z przedziału:

[15]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\theta\in \left[0;\frac{\pi}{2}\right]

Przedziały dla parametrów x_c i θ wynikają z rysunku 3, i z wcześniej opisanych założeń dotyczących tych parametrów.

Rozważmy teraz, prawdopodobieństwo, że igła upadnie w dowolnej odległości x_c od najbliższej linii podziału, zakładając, że igła nie może spaść poza obszarem rzutu. W takim przypadku prawdopodobieństwo powinno się równać 1, a więc powinna zostać spełniona następująca równość:

[16]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\int_0^{\frac{t}{2}}k_x, dx_c=1\Rightarrow k_x\cdot\left[x\ight]_0^{\frac{t}{2}}=1\Rightarrow k_x=\frac{2}{t}

gdzie: k_x jest współczynnikiem prawdopodobieństwa.

W analogiczny sposób należy rozpisać równanie prawdopodobieństwa dla wszystkich dostępnych wartości parametru θ:

[17]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\int_0^{\frac{\pi}{2}}k_\theta, d\theta=1\Rightarrow k_\theta\cdot\left[\theta\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=1\Rightarrow k_\theta=\frac{2}{\pi}

Ostatecznie więc funkcja prawdopodobieństwa, że odległość środka igły x_c od najbliższej mu linii podziału będzie się zawierać w przedziale od x₁ do x₂ gdzie x₁≤x₂ oraz x₁≥0, x₂≤t/2 przyjmuje następującą postać:

[18]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P=\int_{x_1}^{x_2}\frac{2}{t}, dx_c

natomiast funkcja prawdopodobieństwa, że kąt nachylenia igły θ zawiera się w przedziale od θ₁ do θ₂, gdzie θ₁≤θ₂ oraz θ₁≥0, θ₂≤ π/2 przyjmuje następującą postać:

[19]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{2}{\pi}, d\theta

Dla funkcji prawdopodobieństwa [17] szukamy takich wartości przedziałów x₁ i x₂, które dają możliwość przecięcia się igły z linią podziału. Przedział dolny x₁ = 0 ponieważ w takiej sytuacji środek igły znajduje się na linii podziału, a więc igła ją przecina. Przedział górny x₂ zależy od kąta θ nachylenia igły względem linii podziału w następujący sposób:

[20]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x_2=\frac{l}{2}\cdot \sin, \theta

Dla funkcji prawdopodobieństwa kąta nachylenia igły względem linii podziału przedział θ₁ = 0, natomiast θ₂ = π/2, ponieważ dla każdego kąta nachylenia igły możliwe jest zdarzenie polegające na jej przecięciu się z linią podziału.

Znając funkcje [18], [19] oraz wartości ich przedziałów, staje się możliwe napisanie funkcji prawdopodobieństwa przecięcia igły z linią podziału, która przyjmuje następującą postać:

[21]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{2}{pi}\,d\theta\int_0^{\frac{l}{2}\cdot \sin\, \theta}frac{2}{t},dx_c=\int_0^{\frac{2}{\pi}}\frac{2}{\pi}\cdot\frac{2}{t}\cdot\left[x\right]_0^{\frac{l}{2}\cdot sin\, \theta}\,d\theta=frac{4}{\pi\cdot t}\cdot\int_0^{\frac{pi}{2}}\frac{l}{2}\cdot \sin\,\theta\,d\theta=\frac{2\cdot l}{\pi\cdot t}\cdot\left[-\cos\,\theta\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{2\cdot l}{\pi \cdot t}\cdot \left(-\cos,\frac{\pi}{2}+\cos\,0\right)=\frac{2\cdot l}{\pi\cdot t}

Ostatecznie można więc przyrównać do siebie stronami równanie [13] i [21] w następujący sposób:

[22]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{n}{N}=\frac{2\cdot l}{\pi\cdot t}

a po przekształceniu równania [22] otrzymujemy upragniony wzór wyznaczający π:

[23]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\pi=\frac{2\cdot l\cdot N}{t\cdot n}

Pozostaje już tylko wykonanie sporej liczby zdarzeń N w celu wyznaczenia liczby π, w czym może być pomocny poniższy kod programu:

Mafijne powiązanie liczby π z liczbami pierwszymi

Euler, skubaniec jeden znalazł metodę na π obliczenie. I odkrył także tym samym przecie, że powiązana jest π jak Wiecie ze zbiorem P wszystkich liczb pierwszych. A wszystkie elementy P zbioru pierwszych są uporządkowane w sposób taki, że P_i<P_i+1. A teraz pozostaje zapisać wzór Eulera cały, co w sposób niesamowicie doskonały łączy liczby pierwsze z π nareszcie:

[24]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

prod_{i=1}^{\infty}{\frac{1}{1-p_i^{-2}}}=\frac{1}{1-2^{-2}}\cdot\frac{1}{1-3^{-2}}\cdot\frac{1}{1-5^{-2}}\cdot\frac{1}{1-7^{-2}}\cdot\frac{1}{1-11^{-2}}\cdot,_{\cdots},=\frac{\pi^2}{6}

Przekształcenie wzoru tego pozostawiam Wam do wykonania samodzielnego.

A teraz gratka dla żądnych sławy i miliona dolarów na swawolne zabawy, bo otóż Riemann cwaniaczek jeden wziął Eulera wzór do siebie i przekształcił go w sposób następujący:

[25]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\zeta =\prod_{i=1}^{\infty}{\frac{1}{1-p_i^{s}}}

I męczą się srodze tęgie głowy naukowców co dzień, jak udowodnić lub obalić hipotezę Riemanna, lecz to wciąż zagadka jest uwikłana, zawiła strasznie, nie daje spokoju. Choć trudzą się mędrcy w pocie i znoju. Nikt nie udowodnił ani nie zaprzeczył, że Riemann bredził, twierdząc że wszystkie nietrywialne miejsca zerowe funkcji ζ leżą na jednej prostej zwanej krytyczną.

Inna postać Riemanna funkcji wygląda następująco:

[26]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\zeta=\prod_{i=1}^{\infty}{\frac{1}{i^{s}}}

I dla s=2 funkcja ta przyjmuje wartość taką samą jak w przypadku równania [24]. Czyli znów wzór na π liczbę żeśmy wytrząsnęli.