Rzutowanie punktu na prostą

Stronę tą wyświetlono już: 5342 razy

Niech istnieją dwa wektory opisujące linię rzutowania V₁ i V₂ oraz rzutowany punkt V₃. Konieczne jest następujące założenie: V₁ ≠V₂. Istnieje możliwość obliczenia wektora V₄ będącego prostopadłym rzutem wektora V₃ na prostą określoną wektorami V₁ i V₂ poprzez obliczenie współczynnika u za pomocą następującego wzoru:

$u=frac{left(V_{3}.x-V_{1}.xright)cdot left(V_2.x-V_1.xright)+left(V_3.y-V_1.yright)cdot left(V_2.y-V_1.y)}{left(V_1.x-V_2.x)^2+left(V_1.y-V_2.y)^2}$

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

u=\frac{\left(V_{3}.x-V_{1}.x\right)\cdot \left(V_2.x-V_1.x\right)+\left(V_3.y-V_1.y\right)\cdot \left(V_2.y-V_1.y)}{\left(V_1.x-V_2.x)^2+\left(V_1.y-V_2.y)^2}

będącego rozszerzeniem wzoru wykorzystującego iloczyn skalarny:

współczynnik u niezbędny do wyznaczenia prostopadłego rzutu punktu na prostą

[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

u=\frac{\left(V_{3}-V_{1}\right)\circ \left(V_2-V_1\right)}{\left(V_1-V_2\right)\circ \left(V_1-V_2\right)}

Współczynnik u jest stosunkiem długości wektora otrzymanego z różnicy wektorów V₄-V₁ do długości wektora otrzymanego z różnicy wektorów V₂-V₁ (rys. 1).

Rys. 1
Interpretacja graficzna wektorów użytych do obliczeń współczynnika u.

Znając więc wartość współczynnika u można obliczyć w współrzędne wektora V₄ korzystając z operacji skalowania wektora V₂-V₁ przez wyliczony współczynnik u:

$vec{V}_4=vec{V}_1+left(vec{V}_1-vec{V}_2right)cdot u$