Wyznaczanie punktu styczności do okręgu prostej przechodzącej przez dany punkt

Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 4997 razy

Dany jest okrąg O o promieniu R oraz środku w punkcie VC oraz dowolny punkt V1, z którego można poprowadzić linie styczne do tego okręgu gdy spełniona jest nierówność [1]. W przypadku, gdy nierówność [1] nie jest spełniona punkt V1 znajduje się wewnątrz okręgu i nie jest możliwe poprowadzenie stycznych do okręgu O.

Równanie [1] [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\left|\vec{V}_c-\vec{V}_1\right|>R

W celu wyznaczenia punktów styczności V2 i V3 konstrukcji geometrycznej z rysunku 31 należy wykorzystując stare dobre i poczciwe twierdzenie Pitagorasa obliczyć długość różnicy wektorów V2 i V1, wzór [2] wyznacza tę odległość.

Konstrukcja geometryczna do obliczenia punktów styczności okręgu z punktem V1.
Rys. 1
Konstrukcja geometryczna do obliczenia punktów styczności okręgu z punktem V1.
Równanie [2] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\left|\vec{V}_2-\vec{V}_1\right|=\sqrt{R^2+\left|\vec{V}_C-\vec{V}_1\right|^2}

Nadszedł właściwy moment na wyznaczenie sinusa i kosinusa kąta leżącego pomiędzy wektorem VC-V2 a wektorem VC-V2. Do uzyskania tych wartości wykorzystane zostały stosunki odpowiednich długości boków trójkąta prostokątnego, jaki tworzą wektory V2, V1 oraz VC (prostopadłość trójkąta wynika ze styczności wektora V2 z okręgiem O). Zależności [3] oraz [4] umożliwiają wyliczenie sinusa i kosinusa kąta leżącego pomiędzy wektorem VC-V2 a wektorem VC-V2.

Równanie [3] [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

sin(\alpha)=\frac{\left|\vec{V}_2-\vec{V}_1\right|}{\left|\vec{V}_C-\vec{V}_1\right|}
Równanie [4] [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\cos(\alpha)=\frac{R}{\left|\vec{V}_C-\vec{V}_1\right|}

Teraz można przystąpić do obliczenia wektora pomocniczego Vp w następujący sposób:

Równanie [5] [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\vec{V}_p=\frac{\vec{V}_1-\vec{V}_C}{\left|\vec{V}_1-\vec{V}_C\right|}\cdot R

Teraz należy obrócić wektor pomocniczy Vp wykorzystując w tym celu wcześniej obliczone wartości sin(α) oraz cos(α) i dodać wektor przesunięcia VC

Równanie [6] [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V_2.x=V_p.x\cdot \cos(\alpha)-V_p.y\cdot \sin(\alpha)+V_{C}.x
Równanie [7] [7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V_2.y=V_p.x\cdot \sin(\alpha)+V_p.y\cdot \cos(\alpha)+V_{C}.y
Równanie [8] [8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V_3.x=V_p.x\cdot \cos(\alpha)+V_p.y\cdot \sin(\alpha)+V_{C}.x
Równanie [9] [9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V_3.y= V_p.y\cdot \cos(\alpha)-V_p.x\cdot \sin(\alpha)+V_{C}.y
Propozycje książek
tytuł: Algorytmy. Ilustrowany przewodnik autor: Aditya Bhargava

Tytuł:

Algorytmy. Ilustrowany przewodnik

Autor:

Aditya Bhargava

tytuł: Algorytmy. Struktury danych i złożoność obliczeniowa autor: Feliks Kurp

Tytuł:

Algorytmy. Struktury danych i złożoność obliczeniowa

Autor:

Feliks Kurp

tytuł: Algorytmy w Pythonie. Techniki programowania dla praktyków autor: Piotr Wróblewski

Tytuł:

Algorytmy w Pythonie. Techniki programowania dla praktyków

Autor:

Piotr Wróblewski

tytuł: Matematyka dyskretna dla praktyków. Algorytmy i uczenie maszynowe w Pythonie autor: Ryan T. White, Archana Tikayat Ray

Tytuł:

Matematyka dyskretna dla praktyków. Algorytmy i uczenie maszynowe w Pythonie

Autor:

Ryan T. White, Archana Tikayat Ray

tytuł: Algorytmy kryptograficzne w Pythonie. Wprowadzenie autor: Shannon W. Bray

Tytuł:

Algorytmy kryptograficzne w Pythonie. Wprowadzenie

Autor:

Shannon W. Bray

tytuł: Algorytmy sztucznej inteligencji. Ilustrowany przewodnik autor: Rishal Hurbans

Tytuł:

Algorytmy sztucznej inteligencji. Ilustrowany przewodnik

Autor:

Rishal Hurbans

tytuł: Algorytmy bez tajemnic  autor: Thomas H. Cormen

Tytuł:

Algorytmy bez tajemnic

Autor:

Thomas H. Cormen

tytuł: Algorytmy dla bystrzaków autor: John Paul Mueller, Luca Massaron

Tytuł:

Algorytmy dla bystrzaków

Autor:

John Paul Mueller, Luca Massaron

tytuł: Algorytmy Data Science. Siedmiodniowy przewodnik. Wydanie II autor: David Natingga

Tytuł:

Algorytmy Data Science. Siedmiodniowy przewodnik. Wydanie II

Autor:

David Natingga

tytuł: Algorytmy uczenia maszynowego. Zaawansowane techniki implementacji autor: Giuseppe Bonaccorso

Tytuł:

Algorytmy uczenia maszynowego. Zaawansowane techniki implementacji

Autor:

Giuseppe Bonaccorso

W związku z tym, że firma Helion nie wywiązuje się z swoich zobowiązań naliczania prowizji za każdą zakupioną książkę a kontakt z ową frmą jest nie możliwy autor strony zmuszony został do zablokowania linkowania książek. Za wszelkie niedogodności z tym związane z góry przepraszam i obiecuję włączenie linkowania gdy tylko sprawa zostanie wyjaśniona

Załączniki:

Program pokazujący działanie algorytmu wyznaczania stycznych do okręgu