Graficzne wzory skróconego mnożenia
Zadanie z ciągiem liczbowym
Liczba pi i jej wyznaczanie
Ułamki okresowe
Ułamki łańcuchowe
Pierwiastkowanie
Potęgowanie
Karciana sztuczka
Silnia
Ta strona należy do działu:
Matematyka poddziału
Zagadnienia ogólne Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski
Stronę tą wyświetlono już: 13277 razy
Ułamkiem łańcuchowym nazywane jest wyrażenie zapisane w postaci [1] . Za pomocą ułamków łańcuchowych możliwe jest zapisanie każdej liczby rzeczywistej, przy czym dla liczby wymiernej ułamek jest skończony, natomiast dla niewymiernej nieskończony.
[1]
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+_{\ddots _{\cfrac{1}{a_n}}}}}
Zapis [1] ze względu na wygodę często zastępuje się następującym zapisem w notacji poziomej :
[2]
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
[a_0, a_1, a_2,\cdots,a_n]
Istnieje również zapis ułamka łańcuchowego w notacji Pringsheima, której postać jest następująca:
[3]
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
a_0 + \frac{1 \mid}{\mid a_1} + \frac{1 \mid}{\mid a_2} + \frac{1 \mid}{\mid a_3} + \cdots+\frac{1 \mid}{\mid a_n}
Dla liczby 125.23236 ułamek łańcuchowy przyjmuje następującą postać:
[4]
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
125+\frac{1}{4+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{14+\cfrac{1}{2}}}}}}}}}
Zapis [4] w notacji poziomej:
[5]
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
[125, 4, 3, 3, 2, 2, 2, 1, 14, 2]
i w notacji Pringsheima:
[6]
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
125 + \frac{1\mid}{mid4}+ \frac{1\mid}{\mid 3}+ \frac{1\mid}{\mid 3} + \frac{1\mid}{\mid 2}+ \frac{1\mid}{mid 2}+ \frac{1\mid}{\mid 2} + \frac{1\mid}{\mid 1}+ \frac{1\mid}{\mid 14}+ \\frac{1mid}{\mid 2}
Obliczenie poszczególnych elementów ciągu an składają się z podziału ułamka podstawowego np. 125.23236 na część całkowitą a0 =125 i resztę r = 0.23236 , na kolejnych etapach oblicza się odwrotność reszty r i dzieli się w ten sposób uzyskaną wartość ponownie na część całkowitą an i resztę r . Dla rozpatrywanego przypadku kolejność działań będzie następująca:
Liczby niewymierne
Również liczby niewymierne można zapisać w postaci ułamka łańcuchowego, o nieskończonej liczbie elementów ciągu. Najlepszym przykładem jest pierwiastek z 2 , który można rozpisać na część całkowitą a i resztę r w sposób następujący:
[7]
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\sqrt{2}=1\+sqrt{2}-1
gdzie:
1 - część całkowita a
- reszta r
Teraz równanie [7] można rozpisać w następujący sposób:
[8]
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\sqrt{2}=1+\sqrt{2}-1=1+\frac{1}{\cfrac{1}{\sqrt2-1}}=1+\frac{1}{\cfrac{1}{\sqrt2-1}\cdot \cfrac{\sqrt2+1}{\sqrt2+1}}=1+\frac{1}{\sqrt{2}+1}=1+\frac{1}{1+\sqrt{2}-1+1}=1+\frac{1}{2+\sqrt2-1}=\frac{1}{2+\cfrac{1}{\cfrac{1}{\sqrt2-1}}}=1+\frac{1}{2+\cfrac{1}{2+\sqrt2-1}}=1+\frac{1}{2+\cfrac{1}{2+_{\ddots}}}
W podobny sposób można postąpić z pierwiastkiem z 3 , dzieląc go na część całkowitą a i resztę r , w następujący sposób:
[9]
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\sqrt{3}=1+\sqrt{3}-1
Rozpiszmy więc po raz kolejny równanie [9] w następujący sposób:
[10]
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\sqrt{3}=1+\sqrt{3}-1=1+\frac{1}{\cfrac{1}{\sqrt3-1}\cdot\cfrac{\sqrt3+1}{\sqrt3+1}}=1+\frac{1}{\cfrac{\sqrt3+1}{2}}=1+\frac{1}{\cfrac{2+\sqrt3+1}{2}}=1+\frac{1}{1+\cfrac{\sqrt3-1}{2}}=1+\frac{1}{\cfrac{2+\sqrt3+1}{2}}=1+\frac{1}{1+\cfrac{1}{\cfrac{2}{\sqrt3-1}\cdot\cfrac{\sqrt3+1}{\sqrt3+1}}}=1+\frac{1}{1+\cfrac{1}{\sqrt3+1}}=1+\frac{1}{1+\cfrac{1}{2+\sqrt3-1}}=1+\frac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{\cfrac{1}{\sqrt3-1}}}}=1+\frac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+_{\ddots}}}}}
Możliwe jest uzyskanie nieco ładniejszego zapisu ułamka łańcuchowego, poprzez wprowadzenie zmiennej pomocniczej r , której wartość jest następująca:
[11]
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
r=\sqrt3-1
Zależność [11] , można rozpisać w następujący sposób:
[12]
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
(r+1)^2=3\Rightarrow r^2+2\cdot r+1=3\Rightarrow r\cdot(r+2)=2\Rightarrow r=\frac{2}{r+2}
Podstawiając do równania [9] i rozpisując uzyskujemy następujący wynik:
[13]
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\sqrt3=1+r=1+\frac{2}{2+r}=1+\frac{2}{2+\cfrac{2}{2+r}}=1+\frac{2}{2+\cfrac{2}{2+_\ddots}}
Stała π w zapisie łańcuchowym Eulera
[14]
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\pi=2+\cfrac{4}{3+\cfrac{1\cdot 3}{4+\cfrac{3\cdot 5}{4+\cfrac{5\cdot 7}{4+_\ddots}}}}
Stała Eulera e w zapisie łańcuchowym
[15]
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
e= 2+\frac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{3+\cfrac{3}{\ddots}}}}
Ułamki łańcuchowe w funkcjach trygonometrycznych
[16]
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\sin x=\cfrac{x}{1+cfrac{x^2}{(2\cdot 3-x^2)+\cfrac{2\cdot 3 x^2}{(4\cdot 5-x^2)+\cfrac{4\cdot 5 x^2}{(6\cdot 7-x^2)+_\ddots}}}}
[17]
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
tg x=\cfrac{x}{1-\cfrac{x^2}{3-\cfrac{x^2}{5-\cfrac{x^2}{7-_\ddots}}}}=\cfrac{1}{\cfrac{1}{x}-\cfrac{1}{\cfrac{3}{x}-\cfrac{1}{\cfrac{5}{x}-\cfrac{1}{\cfrac{7}{x}-_\ddots}}}}
[18]
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
ctg x=\cfrac{1}{x}-\cfrac{x}{3-\cfrac{x^2}{5-\cfrac{x^2}{7-\cfrac{x^2}{9-_\ddots}}}}