Ułamki łańcuchowe
Stronę tą wyświetlono już: 12013 razy
Ułamkiem łańcuchowym nazywane jest wyrażenie zapisane w postaci [1]. Za pomocą ułamków łańcuchowych możliwe jest zapisanie każdej liczby rzeczywistej, przy czym dla liczby wymiernej ułamek jest skończony, natomiast dla niewymiernej nieskończony.
Zapis [1] ze względu na wygodę często zastępuje się następującym zapisem w notacji poziomej :
Istnieje również zapis ułamka łańcuchowego w notacji Pringsheima, której postać jest następująca:
![]() | [3] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Dla liczby 125.23236 ułamek łańcuchowy przyjmuje następującą postać:
![]() | [4] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Zapis [4] w notacji poziomej:
i w notacji Pringsheima:
![]() | [6] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Obliczenie poszczególnych elementów ciągu an składają się z podziału ułamka podstawowego np. 125.23236 na część całkowitą a0=125 i resztę r = 0.23236, na kolejnych etapach oblicza się odwrotność reszty r i dzieli się w ten sposób uzyskaną wartość ponownie na część całkowitą an i resztę r. Dla rozpatrywanego przypadku kolejność działań będzie następująca:
Liczby niewymierne
Również liczby niewymierne można zapisać w postaci ułamka łańcuchowego, o nieskończonej liczbie elementów ciągu. Najlepszym przykładem jest pierwiastek z 2, który można rozpisać na część całkowitą a i resztę r w sposób następujący:
gdzie:
- 1 - część całkowita a
- reszta r
Teraz równanie [7] można rozpisać w następujący sposób:
![]() | [8] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
W podobny sposób można postąpić z pierwiastkiem z 3, dzieląc go na część całkowitą a i resztę r, w następujący sposób:
Rozpiszmy więc po raz kolejny równanie [9] w następujący sposób:
![]() | [10] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Możliwe jest uzyskanie nieco ładniejszego zapisu ułamka łańcuchowego, poprzez wprowadzenie zmiennej pomocniczej r, której wartość jest następująca:
Zależność [11], można rozpisać w następujący sposób:
![]() | [12] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Podstawiając do równania [9] i rozpisując uzyskujemy następujący wynik:
![]() | [13] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Stała π w zapisie łańcuchowym Eulera
![]() | [14] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Stała Eulera e w zapisie łańcuchowym
Ułamki łańcuchowe w funkcjach trygonometrycznych
![]() | [16] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
![]() | [17] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
![]() | [18] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

Tytuł:
Matematyka w uczeniu maszynowym
Autor:
Marc Peter Deisenroth, A. Aldo Faisal, Cheng Soon Ong

Tytuł:
Matematyka dyskretna dla praktyków. Algorytmy i uczenie maszynowe w Pythonie
Autor:
Ryan T. White, Archana Tikayat Ray

Tytuł:
Matematyka w Pythonie. Algebra, statystyka, analiza matematyczna i inne dziedziny
Autor:
Amit Saha

Tytuł:
Matematyka dla menedżerów. Wydanie II
Autor:
Michael C. Thomsett

Tytuł:
Matematyka Poradnik encyklopedyczny
Autor:
I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew

Tytuł:
Matematyka finansowa
Autor:
Jacek Jakubowski, Andrzej Palczewski, Marek Rutkowski, Łukasz Stettner

Tytuł:
Proste jak pi Matematyka to bułka z masłem
Autor:
Liz Strachan

Tytuł:
O twierdzeniach i hipotezach. Matematyka według Delty
Autor:
Witold Sadowski, Wiktor Bartol

Tytuł:
Matematyka dla biologów
Autor:
Dariusz Wrzosek

Tytuł:
Matematyka dla programistów Java
Autor:
Jacek Piechota