Stronę tą wyświetlono już: 8179 razy

Zadanie 1

Obliczyć przyspieszenie a_c krążka toczącego się bez poślizgu po poziomej płaszczyźnie połączonego za pośrednictwem nieważkiego i nierozciągliwego cięgna z krążkiem, do którego przyłożony został moment obrotowy M będący jedynym czynnikiem wywołujący ruch układu.

Dane:

Rozwiązanie:

Na rysunku 1 zaznaczone zostały jedynie podstawowe informacje, bez oznaczenia wektorów liniowej prędkości chwilowej oraz kątowej, a także założonych przesunięć układu niezbędnymi do ułożenia równania równowagi pracy L i energii E. Innymi słowy trzeba zrobić nowy rysunek z wszystkimi potrzebnymi oznaczeniami.

Zgodnie z wzorem [1] z strony Mechanika techniczna → Dynamika → Zasada równowagi pracy i energii oraz zgodnie z opisywanymi tam zasadami, jedynym czynnikiem wykonującym pracę na układzie jest w tym przypadku moment obrotowy M. W związku z czym prawa strona wcześniej wspomnianego już równania [1] przyjmie następującą wartość:

[1]

gdzie φ jest zadanym przemieszczeniem spowodowanym przez moment obrotowy M. Jest to wielkość nieznana, która na końcu zredukuje się więc nie ma strachu w naszym fachu.

Z wspomnianym już przed chwilą przemieszczeniem kątowym φ związane są bezwzględnie inne przemieszczenie zaznaczone na rysunku 2 przez x₁ i x₂. Tak więc, aby mieć to już za sobą zapiszę tutaj zależności przemieszczeń x₁, x₂ od przemieszczenia kątowego φ.

Przemieszczenie x₂ jest równe długości łuku, którego kąt jest równy φ a promień wynosi R, a więc podstawowa szkoła się kłania:

[2]

A co z przemieszczeniem liniowym x₂? Tutaj chyba nie pójdzie tak łatwo? Ależ pójdzie, pójdzie bo przecież znamy starą dobrą zasadę konstrukcji chwilowego środka obrotu opisaną przeze mnie na stronie Mechanika techniczna → Dynamika → Konstrukcja chwilowego środka obrotu. Nie tracąc już więc czasu i w przebiegły skądinąd sposób wykorzystam w perfidny sposób wcześniej wspomnianą zasadę określając tym samym zależność przemieszczenia liniowego x₁ od przemieszczenia liniowego x₂ w następujący sposób:

[3]

Ponieważ szukam zależności x₁ od φ, a nie od x₂, więc do równania końcowego [3] muszę podstawić równanie 2 uzyskując tym samym szukaną zależność:

[4]

Nadszedł czas aby dorwać się do zależności kinetycznych układu. Ponieważ mam za zadanie wyznaczyć przyspieszenie kątowe a_c układu, a jak się na końcu okaże do tego będzie trzeba wyznaczyć chwilową prędkość liniową V_c, więc wszystkie niewiadome związane z ruchem należy uzależnić od V_c. Zacznę więc od zależności prędkości liniowej V od V_c wykorzystując po raz kolejny starą dobrą zasadę konstrukcji chwilowego środka obrotu (tak jak już wcześniej było to robione w tym zadaniu):

[5]

Zależność prędkości kątowej ω₂ od prędkości V_c:

[6]

Kolej na zależność ω₁ od x₁:

[7]

W zależności [7] podstawiłem od razu za V zależność [6] zmniejszając tym samym męczarnie rozpisywanie tej zależności w dwóch częściach.

Dobra, będzie tego, czas zabrać się za prawą stronę równania [1] ze strony Mechanika techniczna → Dynamika → Konstrukcja chwilowego środka obrotu. Czas zapisać energię kinetyczną całego układu.

Energia kinetyczna krążka znajdującego się po lewej stronie rysunku 2 jest równa sumie energii ruchu prostoliniowego oraz energii obrotu względem środka ciężkości. A więc suma tych energii jest równa:

[8]

Teraz rozpisać należy wzór na energię kinetyczną obracającego się krążka po prawej stronie rysunku 2 w następujący sposób:

[9]

Albowiem powiedzieliśmy już sobie, że energia kinetyczna E wszystkich elementów rozpatrywanego układu musi być równa pracy L na nim wykonanej, więc niezwłocznie takie równanie musi być zapisane:

[10]

W uzyskanym powyżej równaniu [10] znajdują się aż cztery niewiadome, a są to proszę Państwa: V_c; ω₁; ω₂ i φ. Należy z tego wszystkiego wyznaczyć V_c², przekształcając i podstawiając za ω₁ i ω₂ rozpisane wcześniej relacje kinetyczne. A φ nie trzeba się przejmować, bo się z nim rozprawimy na końcu.

Ponieważ nie jestem niańką do opieki nad dziećmi więc nie będę rozpisywał całego procesu podstawiania i upraszczania, podając tym samym wzór [10] po podstawieniu, uproszczeniu i przekształceniu:

[11]

Koniec zadania jest już bliski, albowiem wystarczy sobie przypomnieć ze szkoły średniej, że siła P jest równa iloczynowi przyspieszenia a i masy m rozpatrywanego ciała, zaś siła P razy przemieszczenie s to nic innego jak praca L, zaś praca musi być równa w tym przypadku energii kinetycznej danego układu.

Tak więc, w przypadku tego zadania praca L samego krążka znajdującego się po lewej stronie rysunku 2 związanego z przemieszczeniem liniowym jest równa energii tegoż przemieszczenia. Czyli:

[12]

Do zależności [12] należy za V_c² podstawić wyrażenie [11] a za x₁ zależność [4], uzyskując koniec, końców wzór na upragnioną wartość przyspieszenia a_c:

[13]

Możliwe, że zauważyliście iż uzyskany wynik dziwnym zbiegiem okoliczności jest taki sam, jak ten, który został uzyskany w zadaniu 1 ze strony Mechanika techniczna → Dynamika → Obliczenie przyspieszeń układów ciał metodą Newtona. Dziwna sprawa, to samo zadanie policzone inną metodą i wyszło to samo? Witamy w świecie nauk ścisłych.

Zadanie 2

Obliczyć przyśpieszenie a_c krążka o masie m zawieszonego na nieważkim i nierozciągliwym cięgnie.

Dane:

Rozwiązanie:

Przed przystąpieniem do rozwiązania zadania, uzupełnić należy najpierw oznaczenia na rysunku 3 tak jak to zostało wykonane na rysunku 4.

Jak widać, na rysunku 4 naniesione już zostały podstawowe zależności przemieszczeń liniowych w zależności od h_c oraz liniowych prędkości w zależności od V_c co ułatwi rozpisanie równania energii kinetycznej E układu:

[14]

Po uproszczeniu i uporządkowaniu powyższe równanie przyjmuje następującą postać:

[15]

Konieczne jest rozpisanie zależności kinetycznych by w bezwzględny sposób móc pozbyć się z równania [15] niewiadomych ω₁, ω₂ i ω₃ uzależniając je całkowicie od niewiadomej V_c.

Najpierw ω₁ od V_c:

[16]

a następnie ω₂:

[17]

Na koniec z zależności kinetycznych została już tylko prędkość kątowa ω₃:

[18]

Pozostało już podstawić zależności [16], [17] i [18] do równania [15] otrzymując tym samym uproszczony wzór na energię kinetyczną całego układu:

[19]

Nadszedł najwyższy czas na wyznaczenie pracy sił czynnych na drodze h_c, którymi są oczywiście siły ciężkości ciężarków. Równanie pracy L_1-2 przyjmie więc następującą postać:

[20]

Zgodnie z zasadą równoważności pracy L i energii E przyrównać należy energię kinetyczną całego układu [19] do pracy na nim wykonanej przez siły czynne [20]:

[21]

Po przekształceniu równania [21] uzyskuje się wzór na V_c²:

[22]

Pozostało tylko rozpisać równanie, którego lewą stronę będzie stanowił wzór na pracę L podukładu związanego z przyspieszeniem liniowym a_c zaś prawą wzór na energię kinetyczną E tegoż podukładu:

[23]

Za V_c² do równania [23] podstawić należy zależność [22] otrzymując tym samym końcowy wzór na przyspieszenie liniowe a_c:

[24]

Po raz kolejny dziwnym zbiegiem okoliczności wynik jest taki sam, jak ten, który został uzyskany w zadaniu 2 ze strony Mechanika techniczna → Dynamika → Obliczenie przyspieszeń układów ciał metodą Newtona.

Zadanie 3

Obliczyć przyśpieszenie a_c krążka o ciężarze 4Q zawieszonego na nieważkim i nierozciągliwym cięgnie.

Dane:

Rozwiązanie:

Tradycyjnie od uzupełnienia rysunku zacząć trzeba.

Czas napisać równanie energetyczne E rozpatrywanego układu w następujący sposób:

[25]

Po uproszczeniu i uporządkowaniu równania [25] otrzymuje się taki oto śliczny wzór:

[26]

Ponieważ należy wyznaczyć V_c² więc w bezwzględny sposób należy pozbyć się niewiadomych V₁, V₂, ω₁; ω₂ oraz (jakże by inaczej) ω₃ uzależniając te niewiadome od V_c. Tak więc chciał nie chciał trzeba zakasać rękawy i napisać zależności kinetyczne.

Relacja kinetyczna dla ω₁:

[27]

Relacja kinetyczna dla ω₂:

[28]

Relacja kinetyczna dla ω₃:

[29]

Relacja kinetyczna dla V₁:

[30]

Relacja kinetyczna dla V₂:

[31]

Pozostało już podstawić do równania [26] zależności od 27 do 31 a otrzymane równanie uprościć uzyskując takową postać jego:

[32]

Czas zabrać się za ułożenie równania pracy L czynników wywołujących ruch układu:

[33]

Chciał nie chciał, radził, nie radził trza zależności przemieszczeń wyprowadzić. Zależność przemieszczenia h₁ od h_c:

[34]

Zależność przemieszczenia h₂ od h_c:

[35]

Zależność przemieszczenia kątowego φ od h_c:

[36]

Podstawienie do równania [34] zależności od 34 do 36 z uproszczeniem:

[37]

W powyższej zależności podstawiono za M wartość podaną w zadaniu, czyli 5·Q·r.

Pozostało już tylko przyrównanie całkowitej energii kinetycznej E układu (zależność [32]) do pracy L na nim wykonanej (zależność [37]):

[38]

Praca krążka związanego z prędkością kątową a_c musi być równa energii kinetycznej tego układu w danej chwili, a więc następujące równanie należy zapisać:

[39]

Ostatnie podstawienie do równania [39] za V_c² zależności [38]:

[40]

Po raz kolejny dziwnym zrządzeniem losu otrzymany wynik jest taki sam, jak ten z zadania 3 umieszczonego na stronie Mechanika techniczna → Dynamika → Obliczenie przyspieszeń układów ciał metodą Newtona.

Zadanie 4

Obliczyć przyśpieszenie a ciężarka o masie 2m położonego na płaskiej poziomej płaszczyźnie. W układzie należy pominąć tarcie ciężarków o podłoże oraz masę cięgna.

Dane:

α=30°

Rozwiązanie:

Naniesienie dodatkowych oznaczeń na rysunku 8.

Równanie energii kinetycznej całego układu:

[41]

Jakże piękne równanie [41] wypadałoby uporządkować co nieco w następujący sposób, bo sposoby:

[42]

Nie tracąc czasu czym prędzej rozpisać należy zależności kinetyczne, by po raz kolejny pozbyć się niewiadomych ω₁, ω₂, ω₃, ω₄, V₂, V₃ oraz V₄ z równania [42] poprzez uzależnienie ich od niewiadomej V₁.

Zależność kinetyczna ω₁ od V₁:

[43]

Zależność kinetyczna ω₂ od V₁:

[44]

Zależność kinetyczna ω₃ od V₁:

[45]

Zależność kinetyczna ω₃ od V₁:

[46]

Zależność kinetyczna V₂ od V₁:

[47]

Zależność kinetyczna V₃ od V₁:

[48]

Zależność kinetyczna V₄ od V₁:

[49]

Po podstawieniu do równania [42] zależności kinetycznych od [43] do [49] i uproszczeniu powinno się uzyskać następujący wynik:

[50]

Najwyższa pora i czas na rozpisanie równania pracy L wykonanej przez siły czynne na układzie:

[51]

Z równania [51] trzeba się pozbyć niewiadomych x₂, x₃ oraz x₄ uzależniając je od niewiadomej x₁.

Zależność przemieszczenia φ₁ od przemieszczenia x₁:

[52]

Zależność przemieszczenia φ₂ od przemieszczenia x₁:

[53]

Zależność przemieszczenia φ₃ od przemieszczenia x₁:

[54]

Zależność przemieszczenia x₂ od przemieszczenia x₁:

[55]

Zależność przemieszczenia φ₄ od przemieszczenia x₁:

[56]

Zależność przemieszczenia x₃ od przemieszczenia x₁:

[57]

Zależność przemieszczenia x₄ od przemieszczenia x₁:

[58]

Podstawiając do równania [51] zależności [55], [57] i [58] oraz upraszczając je otrzymuje się następującą końcową jego postać:

[59]

Przyrównanie pracy L opisanej równaniem [59] i energii kinetycznej E całego układu zapisanej w równaniu [50]:

[60]

Wyznaczyć trzeba V₁² w sposób następujący:

[61]

Równanie pracy L układu związanego z przyspieszeniem a i energii kinetycznej E tegoż układu:

[62]

Przekształcając powyższe równanie w końcu uzyskuje się następujący upragniony wzór na przyspieszenie a:

[63]

I znów dziwnym zrządzeniem losu otrzymany wynik jest taki sam, jak ten z zadania 4 umieszczonego na stronie Mechanika techniczna → Dynamika → Obliczenie przyspieszeń układów ciał metodą Newtona.

Zadanie 5

Obliczyć przyśpieszenie a krążka toczącego się bez poślizgu po równi pochyłej.

Dane:

Rozwiązanie:

Uzupełnienie oznaczeń.

Jak tradycja nakazuje tu energię rozpisuję:

[64]

i upraszczam, redukuję, taką postać otrzymuję:

[65]

Relacje kinetyczne rozpisuję:

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

[71]

[72]

Znów podstawić, zredukować:

[73]

Na pracę sił czynnych równanie rozpisuję:

[74]

i zależności przemieszczeń odnajduję:

[75]

[76]

[77]

Znów podstawiam, redukuję, taką postać pracy otrzymuję:

[78]

Pracę i energię do siebie przyrównuję i takie oto równanie otrzymuję:

[79]

Po przekształceniu otrzymuję:

[80]

Pracę i energię układu z a_c związanego do siebie przyrównuję:

[81]

Przekształcam, redukuję i a_c otrzymuję:

[82]

Drogi czytelniku, jeżeli nadal rozwiązywać tych zadań nie umiesz: "then my old Jedi friend I cannot help You anymore"