Stronę tą wyświetlono już: 4428 razy
Obliczyć przyspieszenie ac krążka toczącego się bez poślizgu po poziomej płaszczyźnie połączonego za pośrednictwem nieważkiego i nierozciągliwego cięgna z krążkiem, do którego przyłożony został moment obrotowy M będący jedynym czynnikiem wywołujący ruch układu.

Dane:
Rozwiązanie:
Na rysunku 1 zaznaczone zostały jedynie podstawowe informacje, bez oznaczenia wektorów liniowego przyspieszenia a, przyspieszeń kątowych ε a także przesunięć prac przygotowawczych układu niezbędnych do ułożenia równania d'Alamberte'a. Innymi słowy trzeba zrobić nowy rysunek z wszystkimi potrzebnymi oznaczeniami (co też i z najdzikszą rozkoszą czynię poniżej).

Zgodnie z wcześniej omawianą teorią, suma iloczynów założonego przesunięcia i sił bezwładności FB oraz iloczynu sił sprawczych i założonego dla nich przesunięcia musi równać się zeru. Ważne jest, żeby pamiętać o kierunku bo wektory przeciwne mają przeciwny znak.
Równanie d'Alamberte'a dla rozpatrywanego układu będzie więc wyglądało następująco:
Po uporządkowaniu powyższego równania otrzymuję:
W powyższym równaniu jest całkiem sporo niewiadomych, do których należą między innymi przemieszczenia. Nie ma jednak powodów do paniki, albowiem pozbyć się ich można korzystając z wzajemnych zależności przemieszczeniowych. Ułożę więc zależność wszystkich przemieszczeń od przemieszczenia δx1 a dlaczego do δx1? Odpowiedź brzmi: bo taki mam kaprys.
Zależność przemieszczenia δφ2 od przemieszczenia δx1:
Zależność przemieszczenia δx2 od przemieszczenia δx1:
Zależność przemieszczenia δφ1 od przemieszczenia δx1:
Podstawić pozostało już tylko do równania [2] zależności przemieszczeniowe [3], [4] oraz [5] otrzymując:
Równanie [6] podzielić obustronnie przez δx1 i uprościć otrzymując tym samym:
Pozostało już tylko opisanie zależności kinetycznych, w celu pozbycia się kolejnych niewiadomych.
Zależność kinetyczne ε2 od ac:
Zależność kinetyczne a2 od ac:
Zależność kinetyczne ε1 od ac:
Podstawienie do równania [7] zależności [8], [9] i [10]:
Po podzieleniu przekształceniu i uproszczeniu otrzymuje się upragnioną wartość ac.
Obliczyć przyśpieszenie ac krążka o masie m zawieszonego na nieważkim i nierozciągliwym cięgnie.

Dane:
Rozwiązanie:
Przed przystąpieniem do rozwiązania zadania, uzupełnić należy najpierw oznaczenia na rysunku 3 tak jak to zostało wykonane na rysunku 4.

Jak widać, na rysunku 4 naniesione już zostały podstawowe zależności przemieszczeń liniowych w zależności od hc oraz liniowych przyspieszeń w zależności od ac co ułatwi rozpisanie równania d'Alamberte'a:
Po uproszczeniu otrzymuje się następującą postać równania [13]:
Zależności przemieszczeń:
Podstawienie do równania [14] zależności [15], [16] i [17]:
Uproszczenie wyrażenia [18]:
Zależności kinetyczne:
Podstawiając zależności [20], [21] i [22] do równania [19] z jednoczesnym uproszczeniem i przekształceniem otrzymuje się szukaną wartość ac:
Obliczyć przyśpieszenie ac krążka o ciężarze 4Q zawieszonego na nieważkim i nierozciągliwym cięgnie.

Dane:
Rozwiązanie:
Tradycyjnie od uzupełnienia rysunku zacząć trzeba.

Równanie d'Alamberte'a rozpisać trzeba:
Upraszczając równanie [24] odrobinę otrzymuje się następującą jego postać:
Zależności przemieszczeń:
Po podstawieniu do zależności [25] wyrażeń [26] do [30] i uproszczeniu otrzymuje się następujące równanie:
Zależności kinetyczne:
Po podstawieniu do równania [31] zależności [32] do [36], uproszczeniu i przekształceniu otrzymuje się wartość przyspieszenia ac:
Obliczyć przyśpieszenie a ciężarka o masie 2m położonego na płaskiej poziomej płaszczyźnie. W układzie należy pominąć tarcie ciężarków o podłoże oraz masę cięgna.

Dane:
α=30°
Rozwiązanie:
Naniesienie dodatkowych oznaczeń na rysunku 8.

Po raz kolejny trzeba rozpisać równanie d'Alamberte'a:
Po uproszczeniu równania [38] otrzymuje się taką oto jego postać:
Prawda, że ładne równanko wyszło? Zaraz się uprości, gdy tylko rozpisze się przemieszczeń zależności:
Jak uprzednio tak i teraz podstawionko zrobić trzeba, czyli do równania [39] podstawić należy zależności od [40] do [46], co też i z najdzikszą rozkoszą czynię równocześnie upraszczając:
Jakże piękne równanie [46] zawiera kilka niewiadomych, do których pozbycia się należy wykorzystać w perfidny sposób zależności kinetyczne:
I ponownie choć tym razem do równania [47] trzeba zrobić małe podstawienie zależności od [48] do [54], a następnie uprościć je i przekształcić uzyskując wartość przyspieszenia a.
Zadanie 5 - ostatnie starcie
Obliczyć przyśpieszenie a krążka toczącego się bez poślizgu po równi pochyłej.

Dane:
Rozwiązanie:
Uzupełnienie oznaczeń.

Równanie d'Alamberte'a:
Powyższe równanie, choć piękne to jednak warto conieco uprościć:
Spokojnie, równanie powyższe się uprości, gdy rozpisze się przemieszczeń zależności:
Podstawiając do równania [57] zależności [58] do [64] i upraszczając otrzymuje się następujące równanie:
Piękne powyższe równanie jest, zgodzicie chyba się? Nie? Niektórych ludzi trudno zadowolić, ale dobra to się zmieni gdy rozpisane i podstawione zostaną zależności kinetyczne:
Najwyższy czas do równania [65] podstawić zależności [68] do [72] jednocześnie uproszczając i przekształcając dzięki czemu uzyskuje się wartość przyspieszenia ac.