Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 4428 razy

Zadanie 1

Obliczyć przyspieszenie ac krążka toczącego się bez poślizgu po poziomej płaszczyźnie połączonego za pośrednictwem nieważkiego i nierozciągliwego cięgna z krążkiem, do którego przyłożony został moment obrotowy M będący jedynym czynnikiem wywołujący ruch układu.

Rysunek do zadania 1
Rys. 1
Rysunek układu ciał wprawianych w ruch momentem obrotowym M.

Dane:

R[m]; Q[N]; M[Nm]

Rozwiązanie:

Na rysunku 1 zaznaczone zostały jedynie podstawowe informacje, bez oznaczenia wektorów liniowego przyspieszenia a, przyspieszeń kątowych ε a także przesunięć prac przygotowawczych układu niezbędnych do ułożenia równania d'Alamberte'a. Innymi słowy trzeba zrobić nowy rysunek z wszystkimi potrzebnymi oznaczeniami (co też i z najdzikszą rozkoszą czynię poniżej).

Rysunek do zadania 1
Rys. 2
Rysunek układu ciał wprawianych w ruch momentem obrotowym M z uzupełnionymi oznaczeniami.

Zgodnie z wcześniej omawianą teorią, suma iloczynów założonego przesunięcia i sił bezwładności FB oraz iloczynu sił sprawczych i założonego dla nich przesunięcia musi równać się zeru. Ważne jest, żeby pamiętać o kierunku bo wektory przeciwne mają przeciwny znak.

Równanie d'Alamberte'a dla rozpatrywanego układu będzie więc wyglądało następująco:

Po uporządkowaniu powyższego równania otrzymuję:

W powyższym równaniu jest całkiem sporo niewiadomych, do których należą między innymi przemieszczenia. Nie ma jednak powodów do paniki, albowiem pozbyć się ich można korzystając z wzajemnych zależności przemieszczeniowych. Ułożę więc zależność wszystkich przemieszczeń od przemieszczenia δx1 a dlaczego do δx1? Odpowiedź brzmi: bo taki mam kaprys.

Zależność przemieszczenia δφ2 od przemieszczenia δx1:

Zależność przemieszczenia δx2 od przemieszczenia δx1:

Zależność przemieszczenia δφ1 od przemieszczenia δx1:

Podstawić pozostało już tylko do równania [2] zależności przemieszczeniowe [3], [4] oraz [5] otrzymując:

Równanie [6] podzielić obustronnie przez δx1 i uprościć otrzymując tym samym:

Pozostało już tylko opisanie zależności kinetycznych, w celu pozbycia się kolejnych niewiadomych.

Zależność kinetyczne ε2 od ac:

Zależność kinetyczne a2 od ac:

Zależność kinetyczne ε1 od ac:

Podstawienie do równania [7] zależności [8], [9] i [10]:

Po podzieleniu przekształceniu i uproszczeniu otrzymuje się upragnioną wartość ac.

Zadanie 2

Obliczyć przyśpieszenie ac krążka o masie m zawieszonego na nieważkim i nierozciągliwym cięgnie.

Rysunek do zadania 2
Rys. 3
Rysunek układu do zadania.

Dane:

r[m];m[kg]

Rozwiązanie:

Przed przystąpieniem do rozwiązania zadania, uzupełnić należy najpierw oznaczenia na rysunku 3 tak jak to zostało wykonane na rysunku 4.

Rysunek do zadania 2
Rys. 4
Rysunek z naniesionymi dodatkowymi informacjami.

Jak widać, na rysunku 4 naniesione już zostały podstawowe zależności przemieszczeń liniowych w zależności od hc oraz liniowych przyspieszeń w zależności od ac co ułatwi rozpisanie równania d'Alamberte'a:

Po uproszczeniu otrzymuje się następującą postać równania [13]:

Zależności przemieszczeń:

Podstawienie do równania [14] zależności [15], [16] i [17]:

Uproszczenie wyrażenia [18]:

Zależności kinetyczne:

Podstawiając zależności [20], [21] i [22] do równania [19] z jednoczesnym uproszczeniem i przekształceniem otrzymuje się szukaną wartość ac:

Zadanie 3

Obliczyć przyśpieszenie ac krążka o ciężarze 4Q zawieszonego na nieważkim i nierozciągliwym cięgnie.

Rysunek do zadania 3
Rys. 5
Rysunek układu do zadania.

Dane:

r[m];Q[N]

Rozwiązanie:

Tradycyjnie od uzupełnienia rysunku zacząć trzeba.

Rysunek do zadania 3
Rys. 6
Rysunek układu z naniesionymi oznaczeniami dodatkowymi.

Równanie d'Alamberte'a rozpisać trzeba:

Upraszczając równanie [24] odrobinę otrzymuje się następującą jego postać:

Zależności przemieszczeń:

delta varphi_2=frac{2cdotdelta x_c}{r} [29]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\delta \varphi_2=\frac{2\cdot\delta x_c}{r}

Po podstawieniu do zależności [25] wyrażeń [26] do [30] i uproszczeniu otrzymuje się następujące równanie:

Zależności kinetyczne:

Po podstawieniu do równania [31] zależności [32] do [36], uproszczeniu i przekształceniu otrzymuje się wartość przyspieszenia ac:

Zadanie 4

Obliczyć przyśpieszenie a ciężarka o masie 2m położonego na płaskiej poziomej płaszczyźnie. W układzie należy pominąć tarcie ciężarków o podłoże oraz masę cięgna.

Rysunek do zadania 4
Rys. 7
Rysunek układu do zadania.

Dane:

R[m];m[kg] α=30°

Rozwiązanie:

Naniesienie dodatkowych oznaczeń na rysunku 8.

Rysunek do zadania 4
Rys. 8
Rysunek układu z uzupełnionymi oznaczeniami.

Po raz kolejny trzeba rozpisać równanie d'Alamberte'a:

Po uproszczeniu równania [38] otrzymuje się taką oto jego postać:

Prawda, że ładne równanko wyszło? Zaraz się uprości, gdy tylko rozpisze się przemieszczeń zależności:

Jak uprzednio tak i teraz podstawionko zrobić trzeba, czyli do równania [39] podstawić należy zależności od [40] do [46], co też i z najdzikszą rozkoszą czynię równocześnie upraszczając:

Jakże piękne równanie [46] zawiera kilka niewiadomych, do których pozbycia się należy wykorzystać w perfidny sposób zależności kinetyczne:

I ponownie choć tym razem do równania [47] trzeba zrobić małe podstawienie zależności od [48] do [54], a następnie uprościć je i przekształcić uzyskując wartość przyspieszenia a.

Zadanie 5 - ostatnie starcie

Obliczyć przyśpieszenie a krążka toczącego się bez poślizgu po równi pochyłej.

Rysunek do zadania 5
Rys. 9
Rysunek układu do zadania.

Dane:

R[m];m[kg]

Rozwiązanie:

Uzupełnienie oznaczeń.

Rysunek do zadania 5
Rys. 10
Rysunek układu z uzupełnionymi oznaczeniami.

Równanie d'Alamberte'a:

Powyższe równanie, choć piękne to jednak warto conieco uprościć:

Spokojnie, równanie powyższe się uprości, gdy rozpisze się przemieszczeń zależności:

Podstawiając do równania [57] zależności [58] do [64] i upraszczając otrzymuje się następujące równanie:

Piękne powyższe równanie jest, zgodzicie chyba się? Nie? Niektórych ludzi trudno zadowolić, ale dobra to się zmieni gdy rozpisane i podstawione zostaną zależności kinetyczne:

Najwyższy czas do równania [65] podstawić zależności [68] do [72] jednocześnie uproszczając i przekształcając dzięki czemu uzyskuje się wartość przyspieszenia ac.

Layout wykonany przez autora strony, wszelkie prawa zastrzeżone. Jakiekolwiek użycie części lub całości grafik znajdujących się na tej stronie bez pisemnej zgody jej autora surowo zabronione.