Pierwiastkowanie

Stronę tą wyświetlono już: 2499 razy

Metoda Newtona umożliwia uzyskanie przybliżonej wartości pierwiastka n-tego stopnia z liczby x przy skończonej liczbie kroków. Na dobry początek Weźmy więc dowolną liczbę A oraz liczbę x, będącą pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby A:

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x=\sqrt[n]{A}

teraz równanie [1] należy obustronnie podnieść do potęgi n, otrzymując równość:

[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

A=x^n

szukana jest taka wartość x, dla której:

[3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x^n-A=0

Metoda Newtona wykorzystuje pochodną funkcji f(x)=xⁿ-A, której pochodna ma następującą postać:

[4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f'(x)=n\cdot x^{n-1}

Ponieważ pochodna funkcji w danym punkcie jest niczym innym jak tangensem kąta zawartego pomiędzy osią x a prostą styczną do funkcji f(x), więc dla zadanej wartości początkowej x₀ możliwe jest obliczenie odległości położenia punktu przecięcia się stycznej z osią x od punktu początkowego x₀ w następujący sposób:

[5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\Delta x=\frac{f(x)}{f'(x)}=\frac{x^n-A}{n\cdot x^{n-1}}

Globalne położenie punktu można obliczyć odejmując wyrażenie [5] od x₀, lub bardziej ogólnie od x_k-1 otrzymując nowy punkt x_k, który znajduje się bliżej rozwiązania zadania:

[6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x_k=x_{k-1}-\frac{f(x)}{f'(x)}=x_{k-1}-\frac{{x_{k-1}}^n-A}{n\cdot {x_{k-1}}^{n-1}}

Przyjrzyjmy się teraz bliżej funkcji f(x)=xⁿ-A, której przebieg można obejrzeć na rysunku 1. Styczna do funkcji f(x) w punkcie x₀ przecina oś x pod kątem α, nieznaną wartość Δx można więc obliczyć przekształcając następujące równanie:

[7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\tan\, \alpha=f'\left(x_0\right)=\frac{f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}\Rightarrow \Delta x=\frac{\fleft(x_0\right)}{f'\left(x_0\Right)}

Równanie [5] wynika więc z powyższej zależności. W kolejnych krokach otrzymywany jest punkt znajdujący się coraz bliżej miejsca zerowego funkcji f(x), którego wartość jest poszukiwana.<

Wykres funkcji <b>f</b>(<b>x</b>)=<b>x<sup>n</sup></b>-<b>A</b>. — Rys. 1
Wykres funkcji f(x)=xⁿ-A.

Dla A>1 początkowa wartość x₀=A ponieważ dla każdej liczby l spełniona jest nierówność l²>l, natomiast dla A≤ 1 początkowa wartość x₀=1, ponieważ dla każdej liczby l<1 spełniona jest nierówność l²<l. Powyższe warunki nie są konieczne do spełnienia, jednakże mają one wpływ na czas uzyskania wyniku.

Uproszczona wersja równania [6] minimalizuje ilość niezbędnych operacji potęgowania:

[8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x_k=x_{k-1}-\frac{x_{k-1}}{n}+\frac{A}{n\cdot {x_{k-1}}^{n-1}}=\frac{1}{n}\cdot\left(x_{k-1}\cdot \left(n-1\right)+\frac{A}{{x_{k-1}}^{n-1}}\right)

Powyższe równanie dla pierwiastka kwadratowego upraszcza się do następującej postaci:

[9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x_k=\frac{1}{2}\cdot\left(x_{k-1}+\frac{A}{x_{k-1}} \right)

Korzystając z równania [9] można uzyskać przybliżoną wartość pierwiastka z dwóch w następujący sposób:

	x_n

	$x_0=frac{1}{2}cdotleft(2+frac{2}{2}right)=1frac{1}{2}=1.5$ $x_1=frac{1}{2}cdotleft(1frac{1}{2}+frac{2}{1frac{1}{2}}right)=1frac{5}{12}=1.41(6)$ $x_2=frac{1}{2}cdotleft(1frac{5}{12}+frac{2}{1frac{5}{12}}right)=1frac{169}{408}approx 1.4142156862745...$ $x_3=frac{1}{2}cdotleft(1frac{169}{408}+frac{2}{1frac{169}{408}}right)=1frac{195025}{470832}approx 1.41421356237469...$ $x_4=frac{1}{2}cdotleft(1frac{195025}{470832}+frac{2}{1frac{195025}{470832}}right)=1frac{2744210}{6625109}approx 1,41421356237309...$

Graficzne wyznaczenie pierwiastków kwadratowych z liczb całkowitych można obejrzeć na rysunku 2. Oczywiście zmienna a powinna być równa jednej jednostce długości aby otrzymane długości odcinków były równe pierwiastkowi kwadratowemu danej liczby jednostek.