Pierwiastkowanie
Stronę tą wyświetlono już: 2499 razy
Metoda Newtona umożliwia uzyskanie przybliżonej wartości pierwiastka n-tego stopnia z liczby x przy skończonej liczbie kroków. Na dobry początek Weźmy więc dowolną liczbę A oraz liczbę x, będącą pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby A:
teraz równanie [1] należy obustronnie podnieść do potęgi n, otrzymując równość:
szukana jest taka wartość x, dla której:
Metoda Newtona wykorzystuje pochodną funkcji f(x)=xn-A, której pochodna ma następującą postać:
Ponieważ pochodna funkcji w danym punkcie jest niczym innym jak tangensem kąta zawartego pomiędzy osią x a prostą styczną do funkcji f(x), więc dla zadanej wartości początkowej x0 możliwe jest obliczenie odległości położenia punktu przecięcia się stycznej z osią x od punktu początkowego x0 w następujący sposób:
Globalne położenie punktu można obliczyć odejmując wyrażenie [5] od x0, lub bardziej ogólnie od xk-1 otrzymując nowy punkt xk, który znajduje się bliżej rozwiązania zadania:
![]() | [6] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
x_k=x_{k-1}-\frac{f(x)}{f'(x)}=x_{k-1}-\frac{{x_{k-1}}^n-A}{n\cdot {x_{k-1}}^{n-1}}
Przyjrzyjmy się teraz bliżej funkcji f(x)=xn-A, której przebieg można obejrzeć na rysunku 1. Styczna do funkcji f(x) w punkcie x0 przecina oś x pod kątem α, nieznaną wartość Δx można więc obliczyć przekształcając następujące równanie:
![]() | [7] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\tan\, \alpha=f'\left(x_0\right)=\frac{f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}\Rightarrow \Delta x=\frac{\fleft(x_0\right)}{f'\left(x_0\Right)}
Równanie [5] wynika więc z powyższej zależności. W kolejnych krokach otrzymywany jest punkt znajdujący się coraz bliżej miejsca zerowego funkcji f(x), którego wartość jest poszukiwana.<

Dla A>1 początkowa wartość x0=A ponieważ dla każdej liczby l spełniona jest nierówność l2>l, natomiast dla A≤ 1 początkowa wartość x0=1, ponieważ dla każdej liczby l<1 spełniona jest nierówność l2<l. Powyższe warunki nie są konieczne do spełnienia, jednakże mają one wpływ na czas uzyskania wyniku.
Uproszczona wersja równania [6] minimalizuje ilość niezbędnych operacji potęgowania:
![]() | [8] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
x_k=x_{k-1}-\frac{x_{k-1}}{n}+\frac{A}{n\cdot {x_{k-1}}^{n-1}}=\frac{1}{n}\cdot\left(x_{k-1}\cdot \left(n-1\right)+\frac{A}{{x_{k-1}}^{n-1}}\right)
Powyższe równanie dla pierwiastka kwadratowego upraszcza się do następującej postaci:
Korzystając z równania [9] można uzyskać przybliżoną wartość pierwiastka z dwóch w następujący sposób:
xn | ||
|
||
Graficzne wyznaczenie pierwiastków kwadratowych z liczb całkowitych można obejrzeć na rysunku 2. Oczywiście zmienna a powinna być równa jednej jednostce długości aby otrzymane długości odcinków były równe pierwiastkowi kwadratowemu danej liczby jednostek.

Tytuł:
Matematyka dyskretna dla praktyków. Algorytmy i uczenie maszynowe w Pythonie
Autor:
Ryan T. White, Archana Tikayat Ray

Tytuł:
Matematyka w Pythonie. Algebra, statystyka, analiza matematyczna i inne dziedziny
Autor:
Amit Saha

Tytuł:
Matematyka dla menedżerów. Wydanie II
Autor:
Michael C. Thomsett

Tytuł:
Matematyka Poradnik encyklopedyczny
Autor:
I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew

Tytuł:
Matematyka finansowa
Autor:
Jacek Jakubowski, Andrzej Palczewski, Marek Rutkowski, Łukasz Stettner

Tytuł:
Sprawdziany Matematyka Klasa 3
Autor:
Iwona Kowalska, Beata Guzowska

Tytuł:
Proste jak pi Matematyka to bułka z masłem
Autor:
Liz Strachan

Tytuł:
O twierdzeniach i hipotezach. Matematyka według Delty
Autor:
Witold Sadowski, Wiktor Bartol

Tytuł:
Matematyka dla biologów
Autor:
Dariusz Wrzosek

Tytuł:
Matematyka dla programistów Java
Autor:
Jacek Piechota