Moment pędu punktu materialnego i zasada zachowania momentu pędu

Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 8880 razy

Moment pędu vec{m_p} jest iloczynem wektorowym wektora promienia vec{r} i pędu vec{p}:

Moment pędu [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\vec{m_p}=\vec{r}\times \vec{p]}

Dla lepszego zrozumienia, wektor momentu pędu vec{m_p} jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny wyznaczonej przez wektor promienia vec{r} i pędu vec{p}, co pokazane zostało na rysunku 1.

Rysunek pomocniczy, pokazujący zasadę wektorowego obliczania momentu pędu
Rys. 1
Rysunek pomocniczy, pokazujący zasadę wektorowego obliczania momentu pędu mp.

Długość wektora momentu pędu vec{m_p} jest równa iloczynowi długości wektora promienia vec{r}, pędu vec{p} oraz sinusa kąta α zawartego pomiędzy tymi wektorami.

Długość wektora momentu pędu pędu [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\left|\vec{m_p}\right|=\left|\vec{r}\right|\cdot \left|\vec{p}\right|\cdot \sin \alpha

W szczególnym przypadku, który mimo wszystko dość często jest rozpatrywany kąt α jest równy 90° a więc zależność [2] upraszcza się wtedy do iloczynu długości wektorów promienia vec{r} oraz pędu vec{p}:

szczególny przypadek długości wektora pędu [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\left|\vec{m_p}\right|=\left|\vec{r}\right|\cdot \left|\vec{p}\right|

Zanim zacznę opowiadać tutaj o zasadzie zachowania pędu i abyście mogli zrozumieć tę zasadę, muszę omówić najpierw pojęcie momentu siły vec{M}, który jest równy iloczynowi skalarnemu wektora promienia vec{r} i siły vec{F}.

Wzór na moment siły [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\vec{M}=\vec{F}\times \vec{r}

Tak jak w przypadku momentu pędu vec{m_p} tak i w przypadku momentu siły vec{M} wartość skalarna jest dana następującą zależnością:

Wartość skalarna momentu siły [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\left|\vec{M}\right|=\left|\vec{F}\right|\cdot \left|\vec{r}\right|\cdot \sin \alpha

I znów, tak jak w przypadku momentu pędu vec{m_p} tak i w przypadku momentu siły vec{M} wyrażenie [5] upraszcza się, gdy kąt α jest równy 90°:

Wartość skalarna momentu siły [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\left|\vec{M}\right|=\left|\vec{F}\right|\cdot \left|\vec{r}\right|

Skutkiem działania momentu siły vec{M} jest zmiana momentu pędu vec{m_p}, pędu vec{p} ciała jak również prędkości obwodowej vec{V} oraz kątowej vec{omega}. Ponadto można stwierdzić, że gdy siła ma ten sam zwrot i kierunek co wektor pędu vec{p} lub obwodowej prędkości chwilowej ciała vec{V}, to wektor pędu vec{m_p} rośnie, w przeciwnym zaś przypadku maleje.

moment pędu
Rys. 2
Rysunek pomagający określić wpływ momentu siły vec{M} na moment pędu vec{m_p}: a) gdy zwrot i kierunek wektora siły vec{F} jest zgodny z kierunkiem i zwrotem wektora pędu vec{m}; b) gdy zwrot wektora siły vec{F} jest przeciwny do wektora pędu vec{p}.

Zmiana pędu po czasie {{d vec{m_p}}/dt} jest równa momentowi siły vec{M}, ponieważ to siła vec{F} powoduje zmianę ruchu a miarą ruchu jest pęd vec{p}, z którym związany jest moment pędu vec{m_p}.

Wartość skalarna momentu siły [7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\vec{M}=\frac{\vec{dm_p}}{dt}

Każdy chyba się ze mną zgodzi, że już najwyższy czas aby porozmawiać o tym, znaczy się o zasadzie zachowania momentu pędu vec{m_p}, którą w matematyczny sposób bo sposoby można zapisać tak:

vec{m_p}=constLeftrightarrow vec{M}=0 [8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\vec{m_p}=const\Leftrightarrow \vec{M}=0

A po ludzku mówiąc? Po ludzku mówiąc będzie tak: jeżeli moment siły vec{M} działającej na punkt materialny względem pewnego punktu w przestrzeni jest równy zeru to moment pędu vec{m_p} względem tego samego punktu w przestrzeni jest stały.

A teraz pomyślmy, przez chwilę pomyślmy logicznie i zastanówmy się kiedy moment siły vec{M} jest równy zeru? To proste, gdy siła vec{F} jest równa zero. A czy istnieje jeszcze jakiś przypadek, taki w którym siła vec{F} nie jest równa zeru a mimo to moment siły vec{M} jest równy zero? Spójrzmy łaskawym okiem na wzór [5], i zastanówmy się wspólnie. Jest tam współczynnik sin α, prawda? Kiedy ten współczynnik będzie równy zero to i moment siły vec{M} będzie równy zero. Teraz pytanie zagadka: kiedy współczynnik sin α jest równy 0? Odpowiedź brzmi, gdy α jest równe lub gdy jest równe 180°. Innymi słowy, gdy kierunek siły vec{F} pokrywa się z kierunkiem wektora promienia vec{r} to moment siły vec{M} jest równy zero. Siły vec{F}, których kierunek jest taki sam, co wektora promienia vec{r} nazywa się siłami centralnymi.

Skoro moment pędu vec{m_p} nie może ulec zmianie, bez działania na dane ciało siłą, to co się stanie, gdy zmieni się np. promień vec{r}, po którym to ciało się porusza? Ponieważ promień vec{r} się zmniejszył, a moment pędu vec{m_p} pozostał taki sam, to zmianie uległ pęd vec{p} ciała. Z kolei pęd vec{p} to iloczyn masy m ciała i wektora prędkości vec{V}. Masa m ciała jest stała, więc pozostaje tylko się domyślać, że to prędkość vec{V} ulegnie zmianie, a skoro tak, to i prędkość kątowa ω musi ulec zmianie.

Rozważmy więc następującą sytuację: kulka zawieszona na sznurku o długości r przeplecionym przez tulejkę wprawiona została w ruch obrotowy, po czym bez działania już siłą promień ruchu kulki zmniejszono dwukrotnie. Jak zmieni się prędkość liniowa vec{V} i kątowa ω?

Z zasady zachowania pędu skorzystać należy i rozpisać następujące równanie (przyjmuję tutaj, że wektor pędy vec{p} jest prostopadły do wektora promienia vec{r}):

rcdot p_1=frac{r}{2}cdot p_2 [9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

r\cdot p_1=\frac{r}{2}\cdot p_2

Pęd p jest równy iloczynowi masy m i prędkości V, więc równanie [9] można jeszcze troszeczkę rozpisać:

rcdot mcdot V_1=frac{r}{2}cdot mcdot V_2 [10]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

r\cdot m\cdot V_1=\frac{r}{2}\cdot m\cdot V_2

Po odpowiednim przekształceniu i uproszczeniu równania [10] otrzymuje się prędkość liniową V2 po zmniejszeniu promienia r o połowę.

V_2=2cdot V_1 [11]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V_2=2\cdot V_1

Prędkość liniowa wzrosła dwukrotnie, a kątowa ω ile razy? Na to dręczące nas pytanie można odpowiedzieć jedynie stosując wzór na prędkość kątową ω w zależności od prędkości obwodowej V zastosowane w równaniu [10]:

rcdot mcdot omega_1cdot r=frac{r}{2}cdot mcdot omega_2cdot frac{r}{2} [12]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

r\cdot m\cdot \omega_1\cdot r=\frac{r}{2}\cdot m\cdot \omega_2\cdot \frac{r}{2}

Przekształcając otrzymujemy:

omega_2=4cdotomega_1 [13]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\omega_2=4\cdot\omega_1

Prędkość kątowa ω2 wzrosła czterokrotnie, a wszystko to dlatego, że promień r zmalał dwukrotnie.

Zasada zachowania momentu pędu vec{m_p} ma również zastosowanie w przypadku ruchu Księżyca wokół Ziemi (jak również innych ciał niebieskich).

Propozycje książek