Wariacje z powtórzeniami

Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 4333 razy

Zabawmy się niczym Hervey Dent i określmy liczebność zbioru A składającego się z możliwych do uzyskania wariacji z powtórzeniami dla trzykrotnego rzutu monetą. Jak zapewne wiecie, każda moneta ma dwie strony: orła i reszkę. Wypiszmy wszystkie możliwe wariacje z powtórzeniami poniżej:

(O; O; O)
(O; O; R)
(O; R; O)
(O; R; R)
(R; O; O)
(R; O; R)
(R; R; O)
(R; R; R)

Elementów możliwych do uzyskania jest 8, ale zamiast wypisywać w żmudny sposób można to policzyć korzystając z następującego wzoru na wariacje z powtórzeniami:

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

W_{n}^{k}=n^{k}

gdzie:

k - liczba elementów wariacji z powtórzeniami;
n - liczba elementów składowych wariacji z powtórzeniami.

W przypadku naszego zadania 2³=8.

Zadanie 1

Oblicz ile kolorów może opisać bitmapa zapisana z 24 bitową głębią kolorów.

Rozwiązanie:

Jeden bit może przyjmować wartość 0 lub 1, a więc 24 bity mogą przyjmować 2²⁴=16777216 kolorów.

Zadanie 2

Oblicz ile możliwych wariantów stwarza pojedynczy rzut dwiema kościami do gry.

Rozwiązanie:

Każda typowa kostka do gry (jak powszechnie wiadomo) ma n=6 oczek, a kostek jest k=2, więc liczba możliwych unikalnych wariacji z powtórzeniami jest równa 6²=36.

Podsumowanie

Wariacje z powtórzeniami dotyczą generowania takich zbiorów, w których kolejność losowanych elementów jest istotna i w których dany element zbioru podstawowego może powtórzyć się wiele razy. Dla wariacji z powtórzeniami k może być większe od n.