Wariacje bez powtórzeń

Stronę tą wyświetlono już: 2526 razy

A niechaj istnieje taki zbiór A={1,2,3,4,5,6}, dla którego można utworzyć zbiór B wariacji bez powtórzeń, gdzie każdy element zbioru B składa się z k elementów zbioru A tak, że dany element może wystąpić jeden raz w danym elemencie zbioru B.

Taki przypadek odnosi się do rzutu dwiema kostkami, dając tym samym określoną liczbę możliwych zdarzeń, w których ilość oczek nie powtarza się ani razu. Taki zbiór będzie przedstawiał się następująco:

Listing 1

(1;2) (1;3) (1;4) (1;5) (1:6)
(2;1) (2;3) (2;4) (2;5) (2;6)
(3;1) (3;2) (3;4) (3;5) (3;6)
(4;1) (4;2) (4;3) (4;5) (4;6)
(5;1) (5;2) (5;3) (5;4) (5;6)
(6;1) (6;2) (6;3) (6;4) (6;5)

Liczebność powyższego zbioru wynosi 30, ale można tę liczebność obliczyć za pomocą następującego wzoru:

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V_{k}^{n}=\frac{n!}{(n-k)!}

Podstawiając do wzoru k=2 i n=6 otrzymujemy:

[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

{V}_{2}^{6}=\frac{6!}{(6-2)!}=5\cdot 6=30

Jak widać na powyższym przykładzie wyszło tyle ile powinno wyjść.

Zadanie 1

Ze zbioru A={1; 2; 3; 4; 5} losujemy kolejno bez zwracania trzy liczby tworzących liczbę dwucyfrową. Oblicz liczbę uzyskanych w ten sposób liczb.

Rozwiązanie:

Nic tylko podstawić do wzoru [1] za k=3 i n=5, otrzymując tym samym następujący wynik:

[3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V_{5}^{3}=\frac{5!}{(5-3)!}=60

Podsumowanie

Wariacje bez powtórzeń dotyczą generowania zbiorów, w których kolejność występowania elementów jest istotna oraz w których dany element zbioru podstawowego może wystąpić co najwyżej jeden raz. Dla wariacji bez powtórzeń k≤n.

Propozycje książek