Kombinacje bez powtórzeń

Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 14279 razy

A niechaj istnieje zbiór A złożony z n różnych elementów. Każdy k elementowy składających się z różnych elementów zbioru A nazywa się k elementową kombinacją bez powtórzeń zbioru A.

Liczbę wszystkich k elementowych kombinacji bez powtórzeń utworzonych ze zbioru n elementowego oblicza się za pomocą następującego wzoru:

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}

Założenie: 0≤k≤n

Zadanie 1

Oblicz ile istnieje możliwości wyboru sześciu liczb w dużym lotku.

Rozwiązanie:

W tym przypadku n=49, zaś k=6 a więc niezwłocznie podstawiamy do wzoru [1]:

[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

C_{49}^{6}=\frac{49!}{6!\cdot(49-6)!}=13983816

Zadanie 2

W klasie jest 15 chłopaków i 10 dziewczyn. Losujemy sześcioosobową drużynę do gry w piłkę siatkową:a) ile istnieje możliwości ułożenia drużyn; b) ile istnieje możliwości ułożenia drużyn składających się z osobników tej samej płci; c) ile istnieje możliwości ułożenia drużyn z dokładnie dwiema dziewczynami.

Rozwiązanie:

Dla części a) dane są n=25 i k=6, a więc wystarczy podstawić do wzoru [1]:

[3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

C_{25}^{6}=\frac{25!}{6!\cdot(25-6)!}=177100

Dla części b) konieczne jest obliczenie sumy kombinacji dla zbioru dziewcząt i chłopców w następujący sposób:

[4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

C_{15}^{6}+C_{10}^{6}=\frac{15!}{6!\cdot(15-6)!}+\frac{10!}{6!\cdot(10-6)!}=5215

Dla części c) konieczne jest obliczenie iloczynu kombinacji bez powtórzeń dziewczyn dla k=2 i chłopców dla k=4 w następujący sposób:

[5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

C_{15}^{4}\cdot C_{10}^{2}=\frac{15!}{4!\cdot(15-4)!}\cdot\frac{10!}{2!\cdot(10-2)!}=61425

Podsumowanie

Kombinacje bez powtórzeń stosujemy tam, gdzie losowany element może wystąpić co najwyżej jeden raz i nie jest istotna kolejność losowania. Zbiór docelowy nigdy nie może składać z większej liczby elementów niż n.

Propozycje książek