Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzeń
Stronę tą wyświetlono już: 16042 razy
Zadanie 1
Z grupy 15 dziewczyn i 10 chłopaków wybrano trzy osoby. Jakie jest prawdopodobieństwo wyboru co najmniej jednej dziewczyny?
Rozwiązanie:
Jest to doświadczenie trujetapowe więc zbiór Ω tworzą 3-elementowe kombinacje bez powtórzeń ze zbioru 25-elementowego.
![]() | [1] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\overline{\overline{\Omega}}=C_{25}^3=\frac{25!}{3!\cdot(25-3)!}=2300
A - zdarzenie, w którym wybrano co najmniej jedną kobietę, a więc liczebność zbioru wynosi:
![]() | [2] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\overline{\overline{A}}=C_{15}^1\cdot C_{10}^2+C_{15}^2\cdot C_{10}^1+C_{15}^3
Jak widać zależność [2] jest dość złożona, a można ją uprościć budując zdarzenie przeciwne do zdarzenia A i korzystając ze wzoru P(A)=1-P(A').
A' - zdarzenie przeciwne do zdarzenia A, czyli takie w którym nie wylosowano żadnej dziewczyny
![]() | [3] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\overline{\overline{A '}}=C_{10}^3=\frac{10!}{3!\cdot(10-3)!}=120
Teraz mogę obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A w następujący sposób:
![]() | [4] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
P(A)=1-\frac{\overline{\overline{A '}}}{\overline{\overline{\Omega}}}=1-\frac{120}{2300}=\frac{109}{115} \approx 94\%
Prawdopodobieństwo wybrania co najmniej jednej dziewczyny wynosi w przybliżeniu 94%
Zadanie 2
W urnie znajduje się 5 kul białych i 7 kul zielonych. Losowo wybrano 4 kule. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej dwóch kul zielonych.
Rozwiązanie:
Jest to doświadczenie 4-ro etapowe więc zbiór Ω tworzą cztero elementore kombinacje bez powtórzeń ze zbioru dwunasto elementowego.
![]() | [5] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\overline{\overline{\Omega}}=C_{12}^4=\frac{12!}{4!\cdot(12-4)!}=495
A zdarzenie, w którym wylosowano co najmniej dwie kule zielone, prawdopodobieństwo takiego zdarzenia można obliczyć w następujący sposób:
![]() | [6] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\overline{\overline{A}}=C_7^2\cdot C_5^2+C_7^3\cdot C_5^1+C_7^4
albo można się wziąć na sposób i obliczyć liczebność zdarzenia przeciwnego w nieco prostszy sposób:
![]() | [7] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\overline{\overline{A '}}=C_7^1\cdot C_5^3+C_5^2\cdot C_{10}^1+C_{15}^3=\frac{7!}{1!\cdot(7-1)!}\cdot\frac{5!}{3!\cdot(5-3)!}+\frac{5!}{4!\cdot(5-4)!}=75
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:
![]() | [8] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
P(A)=1-\frac{\overline{\overline{A '}}}{\overline{\overline{\Omega}}}=1-\frac{75}{495}=\frac{28}{33} \approx 84\%
Prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej dwóch zielonych kul wynosi w przybliżeniu 84%
Zadanie 3
Z talii 52 kart wybrano losowo 3 karty. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej jednego kiera.
Rozwiązanie:
Zdarzenie trój etapowe, więc zbiór Ω tworzą 3-elementowe kombinacje bez powtórzeń ze zbioru 52-elementowego.
![]() | [9] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\overline{\overline{\Omega}}=C_{52}^3=\frac{52!}{3!\cdot(52-3)!}=22100
A - zdarzenie, w którym wylosowano co najmniej jednego kiera.
Buduję zdarzenie przeciwne.
A' zdarzenie, w którym nie wylosowano żadnego kiera.
![]() | [10] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\overline{\overline{A '}}=C_{39}^3=\frac{39!}{3!\cdot(39-3)!}=9139
Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi więc:
![]() | [11] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
P(A)=1-\frac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}}=\frac{997}{1700} \approx 58,6\%
Prawdopodobieństwo, że wylosowano co najmniej jednego kiera jest równe około 58,6%
Zadanie 4
Spośród liczb 1, 4, 5, 6, 7 losujemy kolejno bez zwracania dwie. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że: a) suma wylosowanych liczb jest mniejsza od dziesięciu; b) za pierwszym razem wylosowano liczbę parzystą.
Rozwiązanie:
Doświadczenie trój etapowe, w związku z czym tworzę zbiór Ω z dwuelementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru pięcioelementowego.
a) A - zdarzenie, w którym suma wylosowanych liczb jest mniejsza od dziesięciu. A={(1; 4) (1; 5) (1; 6) (1; 7) (5; 1) (5; 4) (6; 1) (7; 1)}, liczebność zbioru
Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi więc:
![]() | [13] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
P(A)=\frac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}=50\%
b) B - zdarzenie, w którym za pierwszym razem wylosowano liczbę nieparzystą. B={(1; 4) (1; 5) (1; 6) (1; 7) (5; 1) (5; 4) (5; 6) (5; 7) (7; 1) (7; 4) (7; 5) (7; 6)}, liczebność zbioru
Prawdopodobieństwo zdarzenia B wynosi więc:
![]() | [14] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
P(B)=\frac{\overline{\overline{B}}}{\overline{\overline{\Omega}}}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}=60\%
Prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest większa od dziesięciu jest równe 50%, a prawdopodobieństwo, że pierwsze z wylosowanych liczb będzie nieparzysta jest równe 60%.

Tytuł:
Matematyka dyskretna dla praktyków. Algorytmy i uczenie maszynowe w Pythonie
Autor:
Ryan T. White, Archana Tikayat Ray

Tytuł:
Matematyka w Pythonie. Algebra, statystyka, analiza matematyczna i inne dziedziny
Autor:
Amit Saha

Tytuł:
Matematyka dla menedżerów. Wydanie II
Autor:
Michael C. Thomsett

Tytuł:
Matematyka Poradnik encyklopedyczny
Autor:
I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew

Tytuł:
Matematyka finansowa
Autor:
Jacek Jakubowski, Andrzej Palczewski, Marek Rutkowski, Łukasz Stettner

Tytuł:
Sprawdziany Matematyka Klasa 3
Autor:
Iwona Kowalska, Beata Guzowska

Tytuł:
Proste jak pi Matematyka to bułka z masłem
Autor:
Liz Strachan

Tytuł:
O twierdzeniach i hipotezach. Matematyka według Delty
Autor:
Witold Sadowski, Wiktor Bartol

Tytuł:
Matematyka dla biologów
Autor:
Dariusz Wrzosek

Tytuł:
Matematyka dla programistów Java
Autor:
Jacek Piechota