Rozwiązywanie liniowych układów równań metodą przeciwnych współczynników
Stronę tą wyświetlono już: 2106 razy
Najwyższy już czas nauczyć się metody eliminacji niewiadomych za pomocą metody przeciwnych współczynników. Na czym ta metoda polega? Obieramy jedno z równań, w którym najwygodniej jest tak przemnożyć je obustronnie, aby współczynnik stojący przy danej zmiennej w tymże równaniu był równy współczynnikowi stojącemu przy drugim równaniu z przeciwnym znakiem. Tak uzyskane równania dodaje się stronami uzyskując nowe równanie uboższe o jedną niewiadomą.
Dla przykładu weźmy prosty układ równań z dwiema niewiadomymi:
![]() | [1] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\begin{cases} 2\cdot x-3\cdot y=13 \\ 3\cdot x-2\cdot y=12\end{cases}
W tym przypadku najlepiej jest przemnożyć pierwsze równanie przez 3, zaś drugie przez -2:
![]() | [2] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\begin{cases}2\cdot x-3\cdot y=13 {/}\cdot3 \\ 3\cdot x-2\cdot y=12 {/}\cdot -2\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 6\cdot x-9\cdot y=39 \\ -6\cdot x+4\cdot y=-24 \end{cases}
Dodaję stronami oba równania i otrzymuję:
![]() | [3] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
6\cdot x-9\cdot y-6\cdot x+4\cdot y=39-24 \Rightarrow -5\cdot y=15 \Rightarrow y=-3
Teraz podstawić należy za y wyliczoną wartość do jednego z równań układu [1]:
![]() | [4] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
2\cdot x-3\cdot (-3)=13 \Rightarrow 2\cdot x=4 \Rightarrow x=2
Rozwiązanie to x=2, y=-3.
Teraz dobierzemy się do nieco trudniejszego zadania z trzema niewiadomymi:
![]() | [5] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\begin{cases} 3\cdot x-7\cdot y+8\cdot z=1 \\ 17\cdot x+5\cdot y-3\cdot z=2 \\ 5\cdot x-2\cdot y+2\cdot z=0\end{cases}
Pomnóżmy łaskawie ostatnie równanie układu równań [5] przez -1 a następnie dodajmy stronami wszystkie trzy równania otrzymując następujące, nowe i pozbawione zmiennej y równanie:
Przydało by się drugie równanie, które by było pozbawione zmiennej y więc czym prędzej mnożę w układzie równań [5] ostatnie równanie przez 2,5 oraz dodaję je do równania drugiego, otrzymując kolejne równanie pozbawione zmiennej y:
Równanie [7] mnożę obustronnie przez 1,5 by uzyskać przy zmiennej z współczynnik odwrotny do stojącego przy tej samej zmiennej w równaniu [6], otrzymując tym samym równanie:
Pozostaje nic innego jak dodać stronami równania [6] i [8] otrzymując następujące równanie:
Podstawiając do równania [8] dostajemy wartość z=1, a podstawiając znane już nam dane do jednego z równań z układu równań [5] otrzymujemy y=1.

Tytuł:
Matematyka dyskretna dla praktyków. Algorytmy i uczenie maszynowe w Pythonie
Autor:
Ryan T. White, Archana Tikayat Ray

Tytuł:
Matematyka w Pythonie. Algebra, statystyka, analiza matematyczna i inne dziedziny
Autor:
Amit Saha

Tytuł:
Matematyka dla menedżerów. Wydanie II
Autor:
Michael C. Thomsett

Tytuł:
Matematyka Poradnik encyklopedyczny
Autor:
I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew

Tytuł:
Matematyka finansowa
Autor:
Jacek Jakubowski, Andrzej Palczewski, Marek Rutkowski, Łukasz Stettner

Tytuł:
Sprawdziany Matematyka Klasa 3
Autor:
Iwona Kowalska, Beata Guzowska

Tytuł:
Proste jak pi Matematyka to bułka z masłem
Autor:
Liz Strachan

Tytuł:
O twierdzeniach i hipotezach. Matematyka według Delty
Autor:
Witold Sadowski, Wiktor Bartol

Tytuł:
Matematyka dla biologów
Autor:
Dariusz Wrzosek

Tytuł:
Matematyka dla programistów Java
Autor:
Jacek Piechota