Zastosowanie metod rozwiązywania układów równań liniowych w interpolacji punktów funkcją wielomianową
Stronę tą wyświetlono już: 1698 razy
Interpolacja polega na niczym innym jak na znalezieniu takiej funkcji f(x), która przechodzi przez zadane punkty interpolacyjne p1, p2, ..., pn. W tym przypadku zajmiemy się wyznaczaniem funkcji wielomianowej, która będzie przechodziła przez zadane punkty.
Wielomianem nazywamy funkcję, którą można zapisać ogólnym wzorem:
lub w postaci:
Znając wcześniej już wspomniane punkty p1, p2, ..., pn można ułożyć n równań, w których jedynymi niewiadomymi są współczynnik a1, a2, ..., an. Układ takich równań będzie prezentował się więc następująco:
![]() | [3] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\begin{cases}y_1=a_1\cdot x_1^0+a_2\cdot x_1^1+...+a_n\cdot x_1^n \\ y_2=a_1\cdot x_2^0+a_2\cdot x_2^1+...+a_n\cdot x_2^n \\ \; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\vdots \\y_n=a_1\cdot x_n^0+a_2\cdot x_n^1+...+a_n\cdot x_n^n\end{cases}
lub w postaci:
![]() | [4] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\begin{cases}y_1=\sum_{i=1}^n a_i\cdot x_1^{i-1} \\ y_2=\sum_{i=1}^n a_i\cdot x_2^{i-1} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\vdots \\ y_n=\sum_{i=1}^n a_i\cdot x_n^{i-1}\end{cases}
gdzie:
- yk - współrzędna y punktu interpolacyjnego Pk
- xk - współrzędna z punktu interpolacyjnego Pk
Rozwiążmy więc jakieś proste zadanie:
Dane są punkty interpolacyjne: P1={0; 100}; P2={2; 228}; P3={8; 1092}; P4={4; 564}. Wyznacz interpolację wielomianową tych punktów.
Rozwiązanie:
Naj sam przód trzeba nam zapisać układ równań:
![]() | [5] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\begin{cases}a_1\cdot x_1^0+a_2\cdot x_1^1+a_3\cdot x_1^2+a_1\cdot x_1^3=y_1 \\ a_1\cdot x_2^0+a_2\cdot x_2^1+a_3\cdot x_2^2+a_1\cdot x_2^3=y_2 \\ a_1\cdot x_3^0+a_2\cdot x_3^1+a_3\cdot x_3^2+a_1\cdot x_3^3=y_3 \\ a_1\cdot x_4^0+a_2\cdot x_4^1+a_3\cdot x_4^2+a_1\cdot x_4^3=y_4\end{cases}=\begin{cases}a_1=100 \\ a_1+a_2\cdot 2+a_3\cdot 2^2+a_4\cdot 2^3=228 \\ a_1+a_2\cdot 8+a_3\cdot 8^2+a_4\cdot 8^3=1092 \\ a_1+a_2\cdot 4+a_3\cdot 4^2+a_4\cdot 4^3=564\end{cases}
Tera robimy macierz:
![]() | [6] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\begin{bmatrix} 1 && 0 && 0 && 0 && 100 \\ 1 && 2 && 4 && 8 && 228 \\ 1 && 8 && 64 && 512 && 1092 \\ 1 && 4 && 16 && 64 && 564 \end{bmatrix}
a ponieważ tak się dziwnie składa, że kiedyś napisałem sobie mały konsolowy programik, który rozwiązuje układy równań metodą eliminacji Gaussa, wystarczy mu podać na wejście takie oto dane:
- 4
- 1 0 0 0 100
- 1 2 4 8 228
- 1 8 64 512 1092
- 1 4 16 64 564
Aby program w ramach rekompensaty wypluł na ekran rozwiązanie:
- Przeliczanie macierzy do postaci macierzy jednostkowej:
- 1 0 0 0 100
- 1 2 4 8 228
- 1 8 64 512 1092
- 1 4 16 64 564
- Etap 1:
- 1 0 0 0 100
- 1 2 4 8 228
- 1 8 64 512 1092
- 1 4 16 64 564
- 1 0 0 0 100
- 0 2 4 8 128
- 0 8 64 512 992
- 0 4 16 64 464
- Etap 2:
- 1 0 0 0 100
- 0 1 2 4 64
- 0 8 64 512 992
- 0 4 16 64 464
- 1 0 0 0 100
- 0 1 2 4 64
- 0 0 48 480 480
- 0 0 8 48 208
- Etap 3:
- 1 0 0 0 100
- 0 1 2 4 64
- 0 0 1 10 10
- 0 0 8 48 208
- 1 0 0 0 100
- 0 1 0 -16 44
- 0 0 1 10 10
- 0 0 0 -32 128
- Etap 4:
- 1 0 0 0 100
- 0 1 0 -16 44
- 0 0 1 10 10
- -0 -0 -0 1 -4
- 1 0 0 0 100
- 0 1 0 0 -20
- 0 0 1 0 50
- -0 -0 -0 1 -4
Rozwiązanie naszego układu równań jest więc następujące:
![]() | [7] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\begin{cases} a_1=100 \\ a_2=-20 \\ a_3=50 \\ a_4=-4 \end{cases}
Szukana funkcja ma więc następującą postać:
Na poniższym wykresie można sprawdzić czy nasza funkcja f(x) pokrywa się z punktami, które ma ona interpolować.

Tytuł:
Matematyka dyskretna dla praktyków. Algorytmy i uczenie maszynowe w Pythonie
Autor:
Ryan T. White, Archana Tikayat Ray

Tytuł:
Matematyka w Pythonie. Algebra, statystyka, analiza matematyczna i inne dziedziny
Autor:
Amit Saha

Tytuł:
Matematyka dla menedżerów. Wydanie II
Autor:
Michael C. Thomsett

Tytuł:
Matematyka Poradnik encyklopedyczny
Autor:
I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew

Tytuł:
Matematyka finansowa
Autor:
Jacek Jakubowski, Andrzej Palczewski, Marek Rutkowski, Łukasz Stettner

Tytuł:
Sprawdziany Matematyka Klasa 3
Autor:
Iwona Kowalska, Beata Guzowska

Tytuł:
Proste jak pi Matematyka to bułka z masłem
Autor:
Liz Strachan

Tytuł:
O twierdzeniach i hipotezach. Matematyka według Delty
Autor:
Witold Sadowski, Wiktor Bartol

Tytuł:
Matematyka dla biologów
Autor:
Dariusz Wrzosek

Tytuł:
Matematyka dla programistów Java
Autor:
Jacek Piechota