Rozwiązywanie układów równań liniowych za pomocą wolnego oprogramowania

Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 3985 razy

Drodzy Czytelnicy, nie chodzi o to, abyście rozwiązywali ręcznie układy równań liniowych, ale o to abyście wiedzieli jak je można rozwiązywać. W przypadku więc, gdy przed wami stanie zadanie rozwiązania jakiegoś dość złożonego układu równań, warto wiedzieć jak ułatwić sobie życie i rozwiązać nie ręcznie ale za pomocą odpowiednich do tego celu przeznaczonych narzędzi.

Rozwiązywanie układów równań za pomocą programu wxMaxima

Weźmy więc układ równań z zadania 1 ze strony Matematyka → Równania liniowe → Rozwiązywanie układów równań liniowych - zadania:

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{cases} m+z+(g-6)=zg \\ z=\cfrac{1}{2}\cdot g \\ m=2\cdot (g-6) \\ m+z=\cfrac{4}{5}\cdotzg\end{cases}

Układ równań [1] można w najłatwiejszy sposób rozwiązać korzystając z niekomercyjnego programu jakim jest wxMaxima dostępny w wersji na każdy z dostępnych na rynku systemie. Do rozwiązania układów równań służy funkcja algsys([r₁, r₂, ..., r_n],[x₁, x₂, ..., x_n]), która jako argumenty przyjmuje dwie listy: listę równań r₁, r₂, ..., r_n; oraz listę niewiadomych x₁, x₂, ..., x_n. Dla układu równań [1] wystarczy więc napisać taki kod:

algsys([m+z+(g-6)=zg, z=1/2*g, m=2*(g-6), m+z=4/5*zg], [m, z, g,zg]);

aby po chwili program wypluł rozwiązanie:

[[m=4,z=4,g=8,zg=10]]

Z powyższego kodu wynika jednoznacznie, że nie trzeba tutaj nawet się wysilać i podawać odpowiednio przekształconych równań, program sam przekształci te równania i znajdzie rozwiązanie.

Rozwiązywanie układów równań liniowych za pomocą programu pakietu LibreOffice zawierającego moduł arkuszy kalkulacyjnych Calc

Powyższa metoda jest bardzo przyjemna i prosta w użyciu, ale zawsze znajdzie się jakiś gagatek, który zapyta czy w takim arkuszu kalkulacyjnym się da to policzyć? No ludziska kochani, jak ręcznie się da policzyć to i w arkuszu kalkulacyjnym da się policzyć, tylko trzeba wiedzieć jak. Po pierwsze układ równań [1] trzeba przekształcić do postaci następującej:

[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{cases} m+z+g-zg=6 \\ z-\cfrac{1}{2}\cdot g=0 \\ m-2\cdot g=-12 \\ m+z-\cfrac{4}{5}\cdot zg=0\end{cases}

a po drugie trzeba stworzyć tabelkę macierzy, która będzie wyglądała następująco:

	A	B	C	D	E	F
1		m	z	g	zg	ww
2	Równanie I	1	1	1	-1	6
3	Równanie II	0	1	-0,5	0	0
4	Równanie III	1	0	-2	0	-12
5	Równanie IV	1	1	0	-0,8	0

W powyższej tabelce pierwszy wiersz to adresy kolumn, natomiast pierwsza kolumna zwiera adresy wierszy, do których należy wpisać zadane wartości w arkuszu kalkulacyjnym. Oznaczenie ww użyte w tabelce oznacza kolumnę wyrazów wolnych.

Teraz tworzymy w arkuszu kalkulacyjnym macierz główną M_gł w następujący sposób:

	A	B	C	D	E
7		m	z	g	zg
8	M_gł=	=B2	=C2	=D2	=E2
9		=B3	=C3	=D3	=E3
10		=B4	=C4	=D4	=E4
11		=B5	=C5	=D5	=E5

Oczywistym wydaje się fakt, że komórki A8:A11 powinny zostać scalone, natomiast niektóre komórki odwołują się poprzez adresowanie do wcześniej utworzonej tabelki.

Czym prędzej przystąpmy do utworzenia macierzy M_m niewiadomej m:

	A	B	C	D	E
13		ww	z	g	zg
14	M_m=	=F2	=C2	=D2	=E2
15		=F3	=C3	=D3	=E3
16		=F4	=C4	=D4	=E4
17		=F5	=C5	=D5	=E5

Następnie macierz M_z:

	A	B	C	D	E
15		m	ww	g	zg
16	M_z=	=B2	=F2	=D2	=E2
17		=B3	=F3	=D3	=E3
18		=B4	=F4	=D4	=E4
19		=B5	=F5	=D5	=E5

Macierz M_g:

	A	B	C	D	E
17		m	z	ww	zg
18	M_g=	=B2	=C2	=F2	=E2
19		=B3	=C3	=F3	=E3
20		=B4	=C4	=F4	=E4
21		=B5	=C5	=F5	=E5

I ostatnia macierz M_zg:

	A	B	C	D	E
23		m	z	g	ww
24	M_zg=	=B2	=C2	=D2	=F2
25		=B3	=C3	=D3	=F3
26		=B4	=C4	=D4	=F4
27		=B5	=C5	=D5	=F5

Teraz scalić należy komórki G8:G11 oraz H8:H11 i w pierwszej z nich wpisać W_gł= a w drugiej =WYZNACZNIK.MACIERZY(B8:E11). Teraz zaznaczyć komórkę B8 skopiować ctrl+c i wkleić ctrl+v w komórki: H14; H20; H26 i H32. W komórkach: G14 wpisać W_m=; G20 wpisać W_z=; G26 wpisać W_g= oraz do komórki G32 wpisać W_zg=.

Do komórek: J14 wpisać m=; J20 wpisać z=; J26 wpisać g=; J32 wpisać zg=.

W komórkę K14 wpisać =H14/$H$8 a następnie skopiować do komórek K20; K26 i K32.

Wynik będzie mniej więcej taki:

	m	z	g	zg	ww
Równanie I	1	1	1	-1	6
Równanie II	0	1	-0,5	0	0
Równanie III	1	0	-2	0	-12
Równanie IV	1	1	0	-0,8	0

	m	z	g	zg
M_gł=	1	1	1	-1		W_gł=	0,3
	0	1	-0,5	0
	1	0	-2	0
	1	1	0	-0,8

	ww	z	g	zg
M_m=	6	1	1	-1		W_m=	1,2	m=	4
	0	1	-0,5	0
	-12	0	-2	0
	0	1	0	-0,8

	m	ww	g	zg
M_z=	1	6	1	-1		W_z=	1,2	z=	4
	0	0	-0,5	0
	1	-12	-2	0
	1	0	0	-0,8

	m	z	ww	zg
M_g=	1	1	6	-1		W_g=	2,4	g=	8
	0	1	0	0
	1	0	-12	0
	1	1	0	-0,8

	m	z	g	ww
M_zg=	1	1	1	6		W_zg=	3	zg=	10
	0	1	-0,5	0
	1	0	-2	-12
	1	1	0	0

Rozwiązywanie układów równań za pomocą programu RównaniaLiniowe

Swego czasu napisałem program, który rozwiązuje układy równań liniowych (omawianej już wcześniej) metodą eliminacji Gaussa. Wystarczy wkleić następujący kod do programu:

4 1 1 1 -1 6 0 1 -0.5 0 0 1 0 -2 0 -12 1 1 0 -0.8 0

by ten po chwili wypluł na ekran rozwiązanie z rozpisanymi w następujący sposób etapami:

Przeliczanie macierzy do postaci macierzy jednostkowej: 1 1 1 -1 6 0 1 -0.5 0 0 1 0 -2 0 -12 1 1 0 -0.8 0 Etap 1: 1 1 1 -1 6 0 1 -0.5 0 0 1 0 -2 0 -12 1 1 0 -0.8 0 1 1 1 -1 6 0 1 -0.5 0 0 0 -1 -3 1 -18 0 0 -1 0.2 -6 Etap 2: 1 1 1 -1 6 0 1 -0.5 0 0 0 -1 -3 1 -18 0 0 -1 0.2 -6 1 0 1.5 -1 6 0 1 -0.5 0 0 0 0 -3.5 1 -18 0 0 -1 0.2 -6 Etap 3: 1 0 1.5 -1 6 0 1 -0.5 0 0 -0 -0 1 -0.2857142857 5.142857143 0 0 -1 0.2 -6 1 0 0 -0.5714285714 -1.714285714 0 1 0 -0.1428571429 2.571428571 -0 -0 1 -0.2857142857 5.142857143 0 0 0 -0.08571428571 -0.8571428571 Etap 4: 1 0 0 -0.5714285714 -1.714285714 0 1 0 -0.1428571429 2.571428571 -0 -0 1 -0.2857142857 5.142857143 -0 -0 -0 1 10 1 0 0 0 4 0 1 0 0 4 -0 -0 1 0 8 -0 -0 -0 1 10

Jak widać, program przekształcił to co miał przekształcić i zwrócił to co miał zwrócić, więc nadaje się on do rozwiązywania takich liniowych układów równań.

Propozycje książek