Macierze obrotu

Stronę tą wyświetlono już: 11295 razy

Temat ten był już poniekąd omawiany w dziale Matematyka → Wektory → Obrót wektora o kąt, z tego też powodu samo wyprowadzenie oraz słuszność wzorów tutaj użytych do stworzenia macierzy obrotu nie będzie tutaj omawiana po raz kolejny. Tych więc, którzy są zainteresowani szczegółami związanymi z wyprowadzeniem odsyłam do wcześniej wspomnianej strony.

Macierz obrotu w przestrzeni 2W

Istnieje taka grupa szczególnych macierzy, zwanych macierzami obrotu M_o, która umożliwia poprzez mnożenie macierzowe z wektorem V tego samego wymiaru n uzyskanie nowego wektora V', który został obrócony względem początku układu współrzędnych o zadany kąt α.

Macierz obrotów M_o dla danego kąta α w przestrzeni 2W przyjmuje postać następującą:

[1]

Obrócenie wektora, tak jak to wcześniej wspomniałem można wykonać poprzez zwykłe mnożenie macierzowe w następujący sposób:

[2]

Na poniższym rysunku można zobaczyć przykładowy obrót figury płaskiej względem początku układu współrzędnych.

Rys. 1
Animacja obrotu przykładowego obiektu o zadany kąt.
Poszczególne klatki animacji wygenerowane zostały w programie wxMaxima za pomocą następującego kodu:

Listing 1
x1:2;

y1:1;

xo: 2;

yo: 0;

da: 5 * %pi / 180;

v: matrix([x1],[y1]);

ik: matrix([xo], [yo]) * 1 / sqrt(xo^2+yo^2);

jk: matrix([-ik[2][1]],[ik[1][1]]);

obj:matrix([0.5,1.5,1.5,1,1,0.5,0.5],[0.5,0.5,1,1,2,2,0.5]);

Mk: matrix([ik[1][1], jk[1][1]],[ik[2][1], jk[2][1]]);

obj2: float(Mk . obj);

l: float(sqrt(v2[1][1]^2+v2[2][1]^2)-sqrt(v[1][1]^2+v[2][1]^2));

Mrot: float(matrix([cos(da), -sin(da)],[sin(da),cos(da)]));

i:0;

for i: 0 thru 71 do(

Mk: matrix([ik[1][1], jk[1][1]],[ik[2][1], jk[2][1]]),

obj2: float(Mk . obj),

ik: Mrot . ik,

jk: Mrot . jk,

plot2d([[discrete, obj2[1], obj2[2]], [discrete, obj[1], obj[2]]],[x,-3,3],[y,-3,3],[gnuplot_term, ***"png size 500,500"***], [gnuplot_out_file, printf(false,***"C:\\obr2 ~f.png"***,i)],[legend,printf(false,***"obrocenie o kat ~f"***,da*i/%pi * 180),***"obracany"***])

)$

Animacja poskładana w programie Gimp

Tę samą operację można wykonać względem dowolnego punktu, wystarczy tylko nieco zmodyfikować wzór [2]:

[3]

Istnieją szczególne rodzaje macierzy obrotów M_o, do których należą obroty o krotność kąta 90°. Tak więc dla obrotu o 90° macierz obrotów M_o ma następującą postać:

[4]

Dla 270° a tym samym dla -90° macierz obrotu ma postać następującą:

[5]

I nareszcie, macierz obrotu M_o o 180°:

[6]

Macierze obrotu w przestrzeni 3W

Obroty trójwymiarowe, które również zostały omówione na stronie Matematyka → Wektory → Obrót wektora o kąt, można wykonywać w zasadzie na podstawie tego samego wzoru [1] z lekką modyfikacją i tylko względem danej osi układu współrzędnych.

Macierz obrotu dla osi z w układzie 3W:

[7]

Na poniższej animacji można zobaczyć przykładowy obrót obiektu względem osi z.

Rys. 2
Animacja obrotu przykładowego obiektu względem osi z.
Poszczególne klatki animacji wygenerowane w programie wxMaxima

Animacja poskładana w programie Gimp

Macierz obrotu dla osi y w układzie 3W:

[8]

Macierz obrotu dla osi x w układzie 3W:

[9]

Składanie macierzy obrotu w układach 3W

Istnieje również możliwość składania obrotów względem np. osi x, y i osi z. Taka operacja będzie miała następującą przykładową postać dla przykładowego obrotu względem osi x i z: