Macierze obrotu
Stronę tą wyświetlono już: 12980 razy
Temat ten był już poniekąd omawiany w dziale Matematyka → Wektory → Obrót wektora o kąt, z tego też powodu samo wyprowadzenie oraz słuszność wzorów tutaj użytych do stworzenia macierzy obrotu nie będzie tutaj omawiana po raz kolejny. Tych więc, którzy są zainteresowani szczegółami związanymi z wyprowadzeniem odsyłam do wcześniej wspomnianej strony.
Macierz obrotu w przestrzeni 2W
Istnieje taka grupa szczególnych macierzy, zwanych macierzami obrotu Mo, która umożliwia poprzez mnożenie macierzowe z wektorem V tego samego wymiaru n uzyskanie nowego wektora V', który został obrócony względem początku układu współrzędnych o zadany kąt α.
Macierz obrotów Mo dla danego kąta α w przestrzeni 2W przyjmuje postać następującą:
Obrócenie wektora, tak jak to wcześniej wspomniałem można wykonać poprzez zwykłe mnożenie macierzowe w następujący sposób:
Na poniższym rysunku można zobaczyć przykładowy obrót figury płaskiej względem początku układu współrzędnych.

Poszczególne klatki animacji wygenerowane zostały w programie wxMaxima za pomocą następującego kodu:
- x1:2;
- y1:1;
- xo: 2;
- yo: 0;
- da: 5 * %pi / 180;
- v: matrix([x1],[y1]);
- ik: matrix([xo], [yo]) * 1 / sqrt(xo^2+yo^2);
- jk: matrix([-ik[2][1]],[ik[1][1]]);
- obj:matrix([0.5,1.5,1.5,1,1,0.5,0.5],[0.5,0.5,1,1,2,2,0.5]);
- Mk: matrix([ik[1][1], jk[1][1]],[ik[2][1], jk[2][1]]);
- obj2: float(Mk . obj);
- l: float(sqrt(v2[1][1]^2+v2[2][1]^2)-sqrt(v[1][1]^2+v[2][1]^2));
- Mrot: float(matrix([cos(da), -sin(da)],[sin(da),cos(da)]));
- i:0;
- for i: 0 thru 71 do(
- Mk: matrix([ik[1][1], jk[1][1]],[ik[2][1], jk[2][1]]),
- obj2: float(Mk . obj),
- ik: Mrot . ik,
- jk: Mrot . jk,
- plot2d([[discrete, obj2[1], obj2[2]], [discrete, obj[1], obj[2]]],[x,-3,3],[y,-3,3],[gnuplot_term, "png size 500,500"], [gnuplot_out_file, printf(false,"C:\\obr2 ~f.png",i)],[legend,printf(false,"obrocenie o kat ~f",da*i/%pi * 180),"obracany"])
- )$
Animacja poskładana w programie Gimp
Tę samą operację można wykonać względem dowolnego punktu, wystarczy tylko nieco zmodyfikować wzór [2]:
Istnieją szczególne rodzaje macierzy obrotów Mo, do których należą obroty o krotność kąta 90°. Tak więc dla obrotu o 90° macierz obrotów Mo ma następującą postać:
Dla 270° a tym samym dla -90° macierz obrotu ma postać następującą:
I nareszcie, macierz obrotu Mo o 180°:
Macierze obrotu w przestrzeni 3W
Obroty trójwymiarowe, które również zostały omówione na stronie Matematyka → Wektory → Obrót wektora o kąt, można wykonywać w zasadzie na podstawie tego samego wzoru [1] z lekką modyfikacją i tylko względem danej osi układu współrzędnych.
Macierz obrotu dla osi z w układzie 3W:
Na poniższej animacji można zobaczyć przykładowy obrót obiektu względem osi z.

Poszczególne klatki animacji wygenerowane w programie wxMaxima
Animacja poskładana w programie Gimp
Macierz obrotu dla osi y w układzie 3W:
Macierz obrotu dla osi x w układzie 3W:
Składanie macierzy obrotu w układach 3W
Istnieje również możliwość składania obrotów względem np. osi x, y i osi z. Taka operacja będzie miała następującą przykładową postać dla przykładowego obrotu względem osi x i z:
Cechy macierzy obrotu Mo
Każda macierz obrotu Mo jest macierzą ortogonalną i jako taka spełnia określone warunki:
1) Wartość wyznacznika macierzy obrotu Mo zawiera się w przedziale |M0|∈{-1; 1}
2) Transpozycja macierzy obrotu MoT jest równa macierzy Mo-1:
3) Iloczyn macierzy obrotu Mo z jej transpozycją MoT daje w wyniku macierz jednostkową:

Tytuł:
Matematyka dyskretna dla praktyków. Algorytmy i uczenie maszynowe w Pythonie
Autor:
Ryan T. White, Archana Tikayat Ray

Tytuł:
Matematyka w Pythonie. Algebra, statystyka, analiza matematyczna i inne dziedziny
Autor:
Amit Saha

Tytuł:
Matematyka dla menedżerów. Wydanie II
Autor:
Michael C. Thomsett

Tytuł:
Matematyka Poradnik encyklopedyczny
Autor:
I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew

Tytuł:
Matematyka finansowa
Autor:
Jacek Jakubowski, Andrzej Palczewski, Marek Rutkowski, Łukasz Stettner

Tytuł:
Sprawdziany Matematyka Klasa 3
Autor:
Iwona Kowalska, Beata Guzowska

Tytuł:
Proste jak pi Matematyka to bułka z masłem
Autor:
Liz Strachan

Tytuł:
O twierdzeniach i hipotezach. Matematyka według Delty
Autor:
Witold Sadowski, Wiktor Bartol

Tytuł:
Matematyka dla biologów
Autor:
Dariusz Wrzosek

Tytuł:
Matematyka dla programistów Java
Autor:
Jacek Piechota