Stronę tą wyświetlono już: 23298 razy

Temat ten był już poniekąd omawiany w dziale Matematyka → Wektory → Obrót wektora o kąt, z tego też powodu samo wyprowadzenie oraz słuszność wzorów tutaj użytych do stworzenia macierzy obrotu nie będzie tutaj omawiana po raz kolejny. Tych więc, którzy są zainteresowani szczegółami związanymi z wyprowadzeniem odsyłam do wcześniej wspomnianej strony.

Macierz obrotu w przestrzeni 2W

Istnieje taka grupa szczególnych macierzy, zwanych macierzami obrotu M_o, która umożliwia poprzez mnożenie macierzowe z wektorem V tego samego wymiaru n uzyskanie nowego wektora V', który został obrócony względem początku układu współrzędnych o zadany kąt α.

Macierz obrotów M_o dla danego kąta α w przestrzeni 2W przyjmuje postać następującą:

[1]

Obrócenie wektora, tak jak to wcześniej wspomniałem można wykonać poprzez zwykłe mnożenie macierzowe w następujący sposób:

[2]

Na poniższym rysunku można zobaczyć przykładowy obrót figury płaskiej względem początku układu współrzędnych.

Tę samą operację można wykonać względem dowolnego punktu, wystarczy tylko nieco zmodyfikować wzór [2]:

[3]

Istnieją szczególne rodzaje macierzy obrotów M_o, do których należą obroty o krotność kąta 90°. Tak więc dla obrotu o 90° macierz obrotów M_o ma następującą postać:

[4]

Dla 270° a tym samym dla -90° macierz obrotu ma postać następującą:

[5]

I nareszcie, macierz obrotu M_o o 180°:

[6]

Macierze obrotu w przestrzeni 3W

Obroty trójwymiarowe, które również zostały omówione na stronie Matematyka → Wektory → Obrót wektora o kąt, można wykonywać w zasadzie na podstawie tego samego wzoru [1] z lekką modyfikacją i tylko względem danej osi układu współrzędnych.

Macierz obrotu dla osi z w układzie 3W:

[7]

Na poniższej animacji można zobaczyć przykładowy obrót obiektu względem osi z.

Macierz obrotu dla osi y w układzie 3W:

[8]

Macierz obrotu dla osi x w układzie 3W:

[9]

Składanie macierzy obrotu w układach 3W

Istnieje również możliwość składania obrotów względem np. osi x, y i osi z. Taka operacja będzie miała następującą przykładową postać dla przykładowego obrotu względem osi x i z:

[10]

Cechy macierzy obrotu M_o

Każda macierz obrotu M_o jest macierzą ortogonalną i jako taka spełnia określone warunki:

1) Wartość wyznacznika macierzy obrotu M_o zawiera się w przedziale |M₀|∈{-1; 1}

2) Transpozycja macierzy obrotu M_o^T jest równa macierzy M_o^-1:

[11]

3) Iloczyn macierzy obrotu M_o z jej transpozycją M_o^T daje w wyniku macierz jednostkową:

[12]