Stronę tą wyświetlono już: 13012 razy

Obliczanie pola powierzchni figury płaskiej jest ściśle powiązane z iloczynem wektorowym dwóch wektorów. Okazuje się bowiem, że wystarczy zastosować wzór [1] dla danej figury płaskiej, która musi spełniać jeden ważny warunek, a mianowicie taki, że nie może być to figura, w której dwa dowolne boki się z sobą przecinają.

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=\frac{1}{2}\cdot\left|\sum_{i=2}^{i=n-1}{\left(\vec{P}_i-\vec{P}_1\right)\times\left(\vec{P}_{i+1}-\vec{P}_1\right)}\right|

W wyniku iloczynu wektorowego otrzymuje się wektor prostopadły do danych wektorów, którego połowa długości jest równa polu powierzchni trójkąta zbudowanego na tych wektorach. W związku z tym wystarczy wyznaczyć długość wektora końcowego, aby otrzymać pole powierzchni danej płaszczyzny. Graficznie jak wygląda takie obliczanie pola powierzchni pokazuje rysunek 1.

We wzorze [1] można zastąpić iloczyn wektorowy wyznacznikiem dwóch wektorów 2W w sposób następujący:

[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=\left|\frac{1}{2}\cdot\sum_{i=2}^{i=n-1}{\Detleft(\vec{P}_i-\vec{P}_1\, \vec{P}_{i+1}-\vec{P}_1\right)}\right|=\left|\frac{1}{2}\cdot\sum_{i=2}^{i=n-1}\begin{vmatrix}vec{P}_{i\rightarrow x}-vec{P}_{1\rightarrow x} & \vec{P}_{i+1\rightarrow x}-\vec{P}_{1\rightarrow x} \\ \vec{P}_{i\rightarrow y}-\vec{P}_{1\rightarrow y} & \vec{P}_{i+1\rightarrow y}-\vec{P}_{1\rightarrow y}\end{vmatrix}\right|

Dla uściślenia w wzorze [2] najpierw liczona jest suma wyznaczników z różnicy wektorów P_i-P₁ oraz P_i+1-P₁ a następnie wyznaczana jest wartość bezwzględna z otrzymanej sumy pomnożonej przez 1 / 2. Piszę to, bo niestety symbol | wyrażenie | ma wieloznaczne znaczenie w matematyce.

Poniżej zamieszczam tabelkę zestawień obliczenia pola powierzchni figury z rysunku 1.

Z zestawienia jasno wynika, że pole powierzchni P_pow jest równe 52[j²]. I rzeczywiście figura z rysunku 1 składa się z dwóch prostokątów o wymiarach 2 na 10 i jednego o wymiarach 2 na 6 co razem licząc daje pole powierzchni równe 52 [j²].

Ktoś może przyczepić się, że w zestawieniu obliczam tylko składową z wektora otrzymanego z mnożenia wektorowego. Otóż przypominam, że iloczyn wektorowy zwraca wektor prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez mnożone wektory, a ponieważ tak się składa, że te wektory leżą w płaszczyźnie XY, więc tylko składowa Z będzie tu miała znaczenie.

Jeżeli chodzi o obliczanie pól powierzchni figur płaskich, które się przecinają same z sobą, to można policzyć ich pole powierzchni, ale konieczny jest podział takiej figury na części mniejsze jak to zostało pokazane na rysunku 2.

Załączniki: