Sześciokąt foremny i heksagram

1. Helion
1. Zdarzyło się dzisiaj
  
  Polska
  1950 – Premiera filmu wojennego Miasto nieujarzmione w reżyserii Jerzego Zarzyckiego.
  Świat
  2016: 47 osób (42 pasażerów i 5 członków załogi) zginęło w północnym Pakistanie w katastrofie należącego do Pakistan International Airlines samolotu ATR 42, lecącego z Czitralu do Islamabadu. Co najmniej 102 osoby zginęły, a ponad 700 zostało rannych w trzęsieniu ziemi o magnitudzie 6,5, które nawiedziło indonezyjską prowincję Aceh w północnej części Sumatry. Lider opozycyjnej Nowej Partii Patriotycznej Nana Akufo-Addo wygrał wybory prezydenckie w Ghanie, pokonując ubiegającego się o reelekcję Johna Dramani Mahamę.
  Źródło: Wikipedia
1. Piosenka dnia
  
  Marek Grechuta - "Nie dokazuj"
  Było kiedyś w pewnym mieście wielkie poruszenie Wystawiano niesłychanie piękne przedstawienie Wszyscy dobrze się bawili, chociaż był wyjątek Młoda pani w pierwszym rzędzie wszystko miała za nic Nawet to że śpiewak śpiewał tylko dla tej pani I gdy rozum tracił dla niej, śmiała się, klaskała W drugim akcie śpiewak śpiewał znacznie już rozważniej Młoda pani była jednak ciągle niepoważna Aż do chwili, kiedy nagle, nagle wśród pokazu Padły słowa Nie dokazuj, miła nie dokazuj Przecież nie jest z ciebie znowu taki cud Nie od razu, miła nie od razu Nie od razu stopisz serca mego lód! Nie dokazuj, miła nie dokazuj Przecież nie jest z ciebie znowu taki cud Nie od razu, miła nie od razu Nie od razu stopisz serca mego lód!

Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 51668 razy

Podstawowe cechy

Długość boku a każdego sześciokąta foremnego jest równa promieniowi R_o okręgu opisanego na tym sześciokącie. Z kolei długość promieniaR_o pomnożona przez dwa jest równa długości przekątnej głównej P₁, która równocześnie jest symetralną kąta wewnętrznego α sześciokąta foremnego. Kąt α jest równy 120°. Całkowita suma kątów wewnętrznych sześciokąta foremnego wynosi 720° czyli 4·π. W sześciokącie foremnym znajdują się trzy przekątne główne P₁ i sześć przekątnych krótszych P₂, przy czym te ostatnie tworzą heksagram. Każdy sześciokąt foremny można podzielić na sześć trójkątów równobocznych, co stanowi podstawę wyprowadzenia wzoru na jego pole powierzchni.

Sześciokąt foremny — Rys. 1
Sześciokąt foremny.
Opis oznaczeń:

A, B, C, D, E, F - wierzchołki sześciokąta foremnego;

S_c - środek ciężkości, środek okręgu opisanego na i wpisanego w sześciokąt foremny oraz punkt przecięcia się symetralnych boków i kątów sześciokąta foremnego;

a - boki sześciokąta foremnego;

P₁ - przekątne główne sześciokąta foremnego;

P₂ - przekątne krótsze sześciokąta foremnego;

S - symetralne kątów wewnętrznych sześciokąta foremnego;

S_a - symetralne boków a sześciokąta foremnego;

α - kąt wewnętrzny sześciokąta foremnego

Jeżeli chodzi o sam hezagram, jego pole powierzchni jest równe {{1}/{3}} pola powierzchni sześciokąta zbudowanego na jego zewnętrznych wierzchołkach.

Hexagram wpisany w sześciokąt foremny — Rys. 2
Hexagram wpisany w sześciokąt foremny.
Opis oznaczeń:

A, B, C, D, E, F - wierzchołki zewnętrzne sześciokąta foremnego i hexagramy;

G, H, I, J, K, L - wierzchołki zewnętrzne sześciokąta foremnego i hexagramy;

S_c - środek ciężkości, środek okręgu opisanego na i wpisanego w sześciokąt foremny oraz punkt przecięcia się symetralnych boków i kątów sześciokąta foremnego i hexagramu;

a - boki sześciokąta foremnego;

P₂ - przekątne krótsze sześciokąta foremnego a zarazem boki hexagramu;

Podstawowe wzory

Sześciokąta foremnego

Obwód sześciokąta foremnego:

Wzór na obwód sześciokąta foremnego

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

L=6\cdot a=6\cdot R_o

Pole powierzchni sześciokąta foremnego, gdy znana jest długość boku a a tym samym promień R_o okręgu opisanego na nim jest równe:

Wzór na pole powierzchni sześciokąta foremnego, gdy dana jest długość boku a

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=\frac{3\cdot a^2\cdot \sqrt{3}}{2}

Znając pole powierzchni hexagramu pole powierzchni sześciokąta foremnego jest równe:

Wzór na pole powierzchni sześciokąta foremnego, gdy dane jest pole powierzchni heksagramu na nim zbudowanego

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=3\cdot P_{pow\, hex}

Długość przekątnej głównej P₁ wynosi:

Wzór na długość przekątnej najdłuższej sześciokąta foremnego

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{1}=2\cdot a=2\cdot R_{o}

Długość przekątnej krótszej P₂ wynosi:

Wzór na długość krótszej przekątnej sześciokąta foremnego

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{2}=2\cdot R_{w}=S_a=a\cdot sqrt{3}

Hexagramu

Obwód, gdy znana jest długość boku P₂ hexagramu a zarazem długość krótszej przekątnej sześciokąta na nim opisanego:

Wzór na obwód heksagramu, gdy znana jest długość jego boku, która jest równa długości krótszej przekątnej sześciokąta foremnego

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

L_{hex}=6\cdot P_2=6\cdot a\cdot sqrt{3}

Pole powierzchni hexagramu to {{1}/{3}} pola powierzchni sześciokąta na nim opisanego, a więc:

Wzór na pole powierzchni heksagramu względem pola powierzchni sześciokąta foremnego, na którym ten heksagram został zbudowany

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow\,hex}=\frac{1}{3}\cdot P_{pow}=\frac{a^2\cdot\sqrt{3}}{2}

Grafika żółwia - kreślenie sześciokąta i hexagramu

W Pythonie znajduje się specjalny moduł turtle poświęcony grafice żółwia, poniżej zamieszczam przykład kodu, który rysuje sześciokąt foremny:

import turtle as tr tr.pensize(10) L = 100 for i in range(6): tr.forward(L) tr.left(360 / 6)

Nic nie stoi na przeszkodzie, aby wykreślić heksagram za pomocą kodu następującego:

import turtle as tr tr.pensize(10) L = 100 for i in range(3): tr.forward(L) tr.left(120) tr.forward(L / 3) tr.right(60) tr.forward(L / 3) tr.left(120) for i in range(3): tr.forward(L) tr.left(120)

Na koniec rysowanie sześciokąta foremnego z heksagramem:

import turtle as tr tr.pensize(10) L = 100 for i in range(6): tr.forward(L) tr.left(360 / 6) l = L * 3 ** 0.5 tr.left(30) tr.pencolor((1.,0,0)) for i in range(3): tr.forward(l) tr.left(120) tr.forward(l / 3) tr.right(60) tr.forward(l / 3) tr.left(120) for i in range(3): tr.forward(l) tr.left(120)

Więcej na temat pisania programów w Pythonie oraz na temat grafiki żółwia można poczytać na stronie Programowanie → Podstawy Pythona → Grafika żółwia.