Funkcje trygonometryczne

Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 11716 razy

Definicje funkcji trygonometrycznych dla trójkąta prostokątnego:

Rysunek trójkąta prostokątnego dla definicji funkcji trygonometrycznych.
Rys. 1
Rysunek trójkąta prostokątnego dla definicji funkcji trygonometrycznych.

Sinusem kąta α leżącego naprzeciw przyprostokątnej a trójkąta prostokątnego nazywa się stosunek długości boku a do długości przeciwprostokątnej c.

Wzór na sinus kąta trójkąta prostokątnego, gdy dane są długość przyprostokątnej a leżącej naprzeciw kąta alfa i długość przeciwprostokątnej c [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

sin\,\alpha=\frac{{\color{red} a}}{{\color{blue}c}}

Cosinusem kąta α przyległego do przyprostokątnej b trójkąta prostokątnego nazywa się stosunek długości boku b do długości przeciwprostokątnej c.

Równanie [2] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\cos\,\alpha=\frac{{\color{green} b}}{{\color{blue}c}}

Tangensem kąta α leżącego naprzeciw przyprostokątnej a trójkąta prostokątnego nazywa się stosunek długości boku a do długości przyprostokątnej b.

Równanie [3] [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\tan\,\alpha=\frac{{\color{red} a}}{{\color{green}b}}

Cotangensem kąta α przyległego do przyprostokątnej b trójkąta prostokątnego nazywa się stosunek długości boku b do długości przyprostokątnej a.

Równanie [4] [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

ctg\,\alpha=\frac{{\color{green} b}}{{\color{red}a}}

Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego

Rysunek poglądowy dla wzorów zależności funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta <b>α</b> od położenia punktu wodzącego <b>P</b>.
Rys. 2
Rysunek poglądowy dla wzorów zależności funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta α od położenia punktu wodzącego P.
Równanie [5] [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

sin\,\alpha=\frac{y}{r}
Równanie [6] [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

cos\,\alpha=\frac{x}{r}

gdzie:

r - promień wodzący punktu P dany zależnością:<

Równanie [7] [7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

r=\sqrt{x^2+y^2}
Równanie [8] [8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

tan\,\alpha=\frac{y}{x}

założenie:

x0

Równanie [9] [9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

ctg\,\alpha=\frac{x}{y}

założenie:

y0

Przebieg funkcji trygonometrycznych

Znaki funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach (nie mylić z ćwierć litrówkami wódki) pomoże zapamiętać taka oto rymowanka:

W pierwszej ćwiartce same plusy

W drugiej tylko sinus,

W trzeciej tangens i cotangens

A w czwartej cosinus.

Dziedziną funkcji f(x)=sin x oraz f(x)=cos x jest zbiór liczb rzeczywistych, natomiast przeciwdziedziną jest zbiór liczb z przedziału <-1; 1>. Funkcje te są funkcjami okresowymi o okresie T=2⋅π.

Dziedziną funkcji f(x)=tan x jest zbiór liczb:

gdzie kC. Przeciwdziedziną tejże funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.

Dziedziną funkcji f(x)=ctg x jest zbiór liczb R{π-k⋅π}, gdzie kC. Przeciwdziedziną tejże funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.

Funkcje f(x)=tan x i f(x)=ctg x są funkcjami okresowymi, o okresie T=π.

Rys. 3
Wykres funkcji f(x)=sin x.

Wykres został wygenerowany w programie wxMaxima za pomocą następującego kodu:

plot2d(sin(x),[x,-%pi - .1, %pi * 3 + .1], [gnuplot_term, "svg size 700,400"], [gnuplot_out_file, "C:\\sinus_x.svg"],[legend, "f(x)=sin(x)"]);

a następnie edytowany w programie Inkscape

Wykres funkcji f(x)=cos x wygenerowany w programie wxMaxima
Rys. 4
Wykres funkcji f(x)=cos x.

Wykres został wygenerowany w programie wxMaxima za pomocą następującego kodu:

plot2d(cos(x),[x,-%pi - .1, %pi * 3 + .1], [gnuplot_term, "svg size 700,400"], [gnuplot_out_file, "C:\\cosinus_x.svg"],[legend, "f(x)=cos(x)"]);

a następnie edytowany w programie Inkscape

Wykres funkcji f(x) = tan x wygenerowany za pomocą programu wxMaxima
Rys. 5
Wykres funkcji f(x)=tan x.

Wykres został wygenerowany w programie wxMaxima za pomocą następującego kodu:

plot2d(tan(x),[x,-%pi - .1, %pi * 3 + .1], [y, -20, 20],[gnuplot_term, "svg size 700,400"], [gnuplot_out_file, "C:\\tan_x.svg"],[legend, "f(x)=tan(x)"]);

a następnie edytowany w programie Inkscape

Wykres funkcji f(x) = ctg x wygenerowany w programie wxMaxima
Rys. 6
Wykres funkcji f(x)=ctg x.

Wykres został wygenerowany w programie wxMaxima za pomocą następującego kodu:

plot2d(1 / tan(x),[x,-%pi - .1, %pi * 3 + .1], [y, -20, 20],[gnuplot_term, "svg size 700,400"], [gnuplot_out_file, "C:\\ctg_x.svg"],[legend, "f(x)=ctg(x)"]);

a następnie edytowany w programie Inkscape

Mafijne powiązania funkcji trygonometrycznych tego samego kąta

Jedynka trygonometryczna:

Równanie [10] [10]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\sin^2\left(\alpha\right)+\cos^2\left(\alpha\right)=1
Wyprowadzenie wzoru [10] zostało opisane w dziale Matematyka Twierdzenie Pitagorasa (wzór [17]).
Równanie [11] [11]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

tan\,\alpha=\frac{\sin\,\alpha}{\cos\,\alpha}=\frac{1}{ctg\,\alpha}
Równanie [12] [12]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

ctg\, \alpha=\frac{\cos\,\alpha}{\sin\,\alpha}=\frac{1}{\tan\,\alpha}
Równanie [13] [13]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

tan\, \alpha\cdot ctg\,\alpha=1

założenia dla zależności [11], [12], [13]:

sin α0 oraz cos α0

Udowodnienie słuszności wzorów [11], [12], [13] można przeprowadzić podstawiając za sin α zależność [1], za cos α zależność [2], za tan α zależność [3] i za ctg α zależność [3].

Zależności dla podwojonego kąta α

Równanie [14] [14]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\sin\, \left(2\cdot\alpha\right)=2\cdot \sin\,\alpha\cdot \cos\,\alpha
Równanie [15] [15]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\cos\, \left(2\cdot \alpha\right)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\cdot \sin^2\alpha=2\cdot \cos^2\alpha-1
Równanie [16] [16]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

tan\, \left(2\cdot \alpha\right)=\frac{2\cdot tan\, \alpha}{1-tan^2\alpha}
Równanie [17] [17]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

ctg\, \left(2\cdot \alpha\right)=\frac{ctg^2 \alpha-1}{2\cdot ctg\,\alpha}

założenia dla zależności [16], [17]:

sin α0 oraz cos α0

Zależności dla potrojonego kąta α

Równanie [18] [18]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

sin\, \left(3\cdot\alpha\right)=\sin\,\alpha\cdot\left(3\cdot \cos^2\alpha-\sin^2\alpha\right)=\sin\,\alpha\cdot \left(3-4\cdot \sin^2\alpha\right)
Równanie [20] [20]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

tan\, \left(3\cdot\alpha\right)=\frac{tan\,\alfa\cdot \left(3-\tan^2\alpha\right)}{1-3\cdot \tan^2\alpha}
Równanie [21] [21]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

ctg\, \left(3\cdot\alpha\right)=\frac{ctg\,\alfa\cdot \left(ctg^2\alpha-3\right)}{3\cdot ctg^2\alpha-1}

założenia dla zależności [20], [21]:

sin α0 oraz cos α0

Zależności dla połowy kąta α

Równanie [22] [22]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\, \alpha}{2}}

Wzór [22] obiera wartość dodatnią dla połowy kąta α leżącego w ćwiartkach I i II, natomiast ujemną dla połowy kąta α leżącego w ćwiartkach III oraz IV.

Równanie [23] [23]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\, \alpha}{2}}

Wzór [23] obiera wartość dodatnią dla połowy kąta α leżącego w ćwiartkach I i IV, natomiast ujemną dla połowy kąta α leżącego w ćwiartkach II oraz II.

Równanie [24] [24]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\,\alpha}{\sin\,\alpha}
Równanie [25] [25]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\,\alpha}{\sin\,\alpha}

założenie dla wzorów [24], [25]:

sin α0

Zależności dla sum i różnic kątów:

wzór na sinus sumy kątów [26]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\,\alpha\cdot \cos\,\beta +\cos\,\alpha\cdot \sin\,\beta
wzór na cosinus sumy kątów [27]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\cos\left(\alpha+\beta\right)=\cos\,\alpha\cdot \cos\,\beta-\sin\,\alpha\cdot \sin\,\beta
Równanie [28] [28]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\sin\left(\alpha-\beta\right)=\sin\,\alpha\cdot \cos\,\beta -\cos\,\alpha\cdot \sin\,\beta
Równanie [29] [29]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\cos\left(\alpha-\beta\right)=\cos\,\alpha\cdot \cos\,\beta +\sin\,\alpha\cdot \sin\,\beta
Równanie [30] [30]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\tan\left(\alpha+\beta\right)=\frac{tan\,\alpha+tan\,\beta}{1-tan\,\alpha\cdot tan\,\beta}

Założenie:

cos α⋅cos β0 oraz cos(α + β)≠0

Równanie [31] [31]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

ctg\left(\alpha+\beta\right)=\frac{\ctg\,\alpha\cdot ctg\,\beta+1}{ctg\,\beta+ctg\,\alpha}

Założenie:

sin α⋅sin β0 oraz sin(α + β)≠0<

Założenie:

cos α⋅cos β0 oraz cos(α - β)≠0

Równanie [33] [33]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

ctg\left(\alpha-\beta\right)=\frac{ctg\,\alpha\cdot\ctg\,\beta+1}{ctg\,\beta-ctg\,\alpha}

Założenie:

sin α⋅sin β0 oraz sin(α - β)≠0

Zależności sum i różnic funkcji trygonometrycznych:

Równanie [34] [34]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\sin\,\alpha+\sin\,\beta=2\cdot \sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot \cos\frac{\alpha-\beta}{2}
Równanie [35] [35]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\cos\,\alpha+\cos\,\beta=2\cdot \cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot \cos\frac{\alpha-\beta}{2}
Równanie [36] [36]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\sin\,\alpha-\sin\,\beta=2\cdot \sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cdot \cos\frac{\alpha+\beta}{2}
Równanie [37] [37]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\cos\,\alpha-\cos\,\beta=-2\cdot \sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot \sin\frac{\alpha-\beta}{2}
Równanie [38] [38]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

tan\,\alpha+tan\,\beta=\frac{\sin\left(\alpha+\beta\right)}{\cos\,\alpha\cdot\cos\,\beta}

Założenie:

cos α⋅ cos β0

Równanie [39] [39]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

ctg\,\alpha+ctg\,\beta=\frac{\sin\left(\alpha+\beta\right)}{\sin\,\alpha\cdot\sin\,\beta}

Założenie:

sin α⋅ sin β0

Równanie [40] [40]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

tan\,\alpha-tan\,\beta=\frac{\sin\left(\alpha-\beta\right)}{\cos\,\alpha\cdot\cos\,\beta}

Założenie:

cos α⋅ cos β0

Równanie [41] [41]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

ctg\,\alpha+ctg\,\beta=\frac{\sin\left(\alpha+\beta\right)}{\sin\,\alpha\cdot\sin\,\beta}

Założenie:

sin α⋅ sin β0

Inne zależności funkcji trygonometrycznych:

Równanie [42] [42]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\sin^2\alpha-\sin^2\beta=\sin\left(\alpha+\beta\right)\cdot \sin\left(\alpha-\beta\right)
Równanie [43] [43]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\cos^2\alpha-\sin^2\beta=\cos\left(\alpha+\beta\right)\cdot \cos\left(\alpha-\beta\right)
Równanie [44] [44]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\cos^2\alpha-\cos^2\beta=\sin\left(\alpha+\beta\right)\cdot \sin\left(\beta-\alpha\right)
Równanie [45] [45]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\sin\,\alpha+\cos\,\alpha=\sqrt{2}\cdot \sin\left(45^{circ} +\alpha\right)=\sqrt{2}\cdot \cos\left(45^{circ} -\alpha\right)
Równanie [46] [46]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\cos\,\alpha-\sin\,\alpha=\sqrt{2}\cdot \cos\left(45^{circ} +\alpha\right)=\sqrt{2}\cdot \sin\left(45^{circ} -\alpha\right)
Równanie [47] [47]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\cos\,\alpha\cdot \cos\,\beta=\frac{1}{2}\cdot\left[\cos\left(\alpha+\beta\right)+\cos\left(\alpha-\beta\right)\right]
Równanie [48] [48]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\sin\,\alpha\cdot \sin\,\beta=\frac{1}{2}\cdot\left[\cos\left(\alpha-\beta\right)-\cos\left(\alpha+\beta\right)\right]
Równanie [49] [49]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\sin\,\alpha\cdot \cos\,\beta=\frac{1}{2}\cdot\left[\sin\left(\alpha+\beta\right)+\sin\left(\alpha-\beta\right)\right]

Dla każdego kąta α, dla którego istnieją tan α, tan α/2 oraz ctg α/2 prawdziwe są następujące związki:

Równanie [50] [50]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\sin\,\alpha=\frac{2\cdot tan\cfrac{\alpha}{2}}{1+tan^2\cfrac{\alpha}{2}}
Równanie [51] [51]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\cos\,\alpha=\frac{1 - tan^2\cfrac{\alpha}{2}}{1+tan^2\cfrac{\alpha}{2}}
Równanie [52] [52]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

tan\,\alpha=\frac{2\cdot tan\cfrac{\alpha}{2}}{1-tan^2\cfrac{\alpha}{2}}

Wartości najczęściej używanych kątów:

Parametry funkcji sinus i kosinus

Funkcje sin i cos można sparametryzować w następujący sposób:

Równanie [54] [54]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f(\alpha)=A\cdot \sin\left(f\cdot \alpha+\beta)
Równanie [55] [55]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f(\alpha)=A\cdot \cos\left(f\cdot \alpha+\beta)

gdzie: