Obliczanie całek wielomianów i funkcji wymiernych

Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 7305 razy

Zadanie 1 Obliczyć całkę z funkcji:

[1]

Rozwiązanie:

[2]

Zadanie 2 Obliczyć całkę z funkcji:

[3]

Rozwiązanie:

[4]

Zadanie 3 Obliczyć całkę z funkcji:

[5]

Rozwiązanie:

[6]

Zadanie 4 Obliczyć całkę z funkcji:

[7]

Rozwiązanie:

[8]

Zadanie 5 Obliczyć całkę z funkcji:

[9]

Rozwiązanie:

[10]

Zadanie 6 Obliczyć całkę z funkcji:

[11]

Rozwiązanie:

[12]

Zadanie 7 Obliczyć całkę z funkcji:

[13]

Rozwiązanie:

[14]

Należy wyznaczyć wartości parametrów A, B dla których spełniona jest równość:

[15]

W oparciu o powyższą równość można zapisać następujący układ równań:

[16]

Podstawiając wyliczone wartości można ukończyć obliczenia całki:

[17]

Zadanie 8 Obliczyć całkę z funkcji:

[18]

Rozwiązanie:

[19]

Należy wyznaczyć wartości parametrów A, B dla których spełniona jest równość:

[20]

W oparciu o powyższą równość można zapisać następujący układ równań:

[21]

Podstawiając wyliczone wartości można ukończyć obliczenia całki:

[22]

Zadanie 9 Obliczyć całkę z funkcji:

[23]

Rozwiązanie:

Sprawdzić należy, czy funkcję kwadratową w mianowniku można zapisać w postaci iloczynowej:

[24]

Δ>0 więc funkcję kwadratową z mianownika można zapisać w postaci iloczynowej według wzoru [17] zapisanego w dziale Matematyka: Funkcje: Funkcje kwadratowe. Wyliczyć należ pierwiastki rozpatrywanej funkcji kwadratowej:

[25]

[26]

Podstawiając do wzoru [17] zapisanego w dziale Matematyka: Funkcje: Funkcje kwadratowe za x₁, x₂ wyliczone wartości otrzymuje się następującą postać iloczynową funkcji kwadratowej:

[27]

Teraz można przystąpić do obliczeń całki z zadanej funkcji:

[28]

Parametry A, B muszą spełniać następującą równość:

[29]

Na podstawie powyższego równania można zapisać następujący układ równań, z którego wyznaczyć należy wartości parametrów A, B:

[30]

Za A, B podstawić należy do wcześniej rozpisanego równania całki:

[31]

Zadanie 10 Obliczyć całkę z funkcji:

[32]

Rozwiązanie:

W tym przypadku wystarczy posłużyć się wzorem skróconego mnożenia:

[33]

Zadanie 11 Obliczyć całkę z funkcji:

[34]

Rozwiązanie:

[35]

Parametry A, B muszą spełniać równość:

[36]

z której można a nawet trzeba ułożyć układ dwóch równań:

[37]

Podstawienie i wyliczenie:

[38]

Zadanie 12 Obliczyć całkę z funkcji:

[39]

Rozwiązanie:

[40]

Parametry A, B, C muszą spełniać następującą równość:

[41]

Układ równań:

[42]

Podstawienie i obliczenie:

[43]

Zadanie 13 Obliczyć całkę z funkcji:

[44]

Rozwiązanie:

[45]

Parametry A, B, C muszą spełniać następującą równość:

[46]

Układ równań:

[47]

Podstawienie i obliczenie:

[48]

Zadanie 14 Obliczyć całkę z funkcji:

[49]

Rozwiązanie:

[50]

Dla wielomianu 4-tego stopnia zawartego w mianowniku ułamka funkcji podcałkowej znaleźć należy zapis iloczynowy tego wielomianu stosując parametr zastępczy U=x² i upraszczając tym samym wielomian do postaci funkcji kwadratowej.